1、2020届安徽省合肥市肥东县高级中学高三1月调研考试数学（理）试题一、单选题1已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则（ ）A1BCD【答案】D【解析】由共轭复数的概念可以得到，解方程即可得到，进而可以求出.【详解】由题意得，解得，则，.故答案为D.【点睛】本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题2已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】求出直线与的交点，即可得到答案。【详解】由题意，解得，故.故答案为A.【点睛】本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。3已知单位向量的夹角为，且，若向量，则（ ）A9B10C3D【答案】C【解析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积
2、公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案.【详解】向量夹角，由可得，向量为单位向量即,可得，则，故选：C.【点睛】本题考查向量的模的计算方法，属于基础题.4下列说法正确的是( )A若命题均为真命题，则命题为真命题B“若，则”的否命题是“若”C在，“”是“”的充要条件D命题“”的否定为“”【答案】D【解析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可【详解】对于A：若命题p，q均为真命题，则q是假命题，所以命题pq为假命题，所以A不正确；对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；对于C：在ABC中， “”“A+B=”“A=-B”sinA=cosB
3、，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；对于D：命题p：“x0R，x02-x0-50”的否定为p：“xR，x2-x-50”，所以D正确故选：D【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查5已知正项等比数列的前项和为，若，则ABCD【答案】B【解析】利用正项等比数列的前项和公式、通项公式，列出方程组，求出，由此能求出的值。【详解】正项等比数列的前项和为，易知时不成立，所以.，解得，故选：B【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的运用，考查了等比数列
4、的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。6已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】对进行变形，得到，令，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，单调递减，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是当解集包含时，时，所以需要满足即，解得当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由得，的范围为故选D项.【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，
5、属于难题.7已知程序框图如图，则输出i的值为A7B9C11D13【答案】D【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当时，不满足退出循环的条件，故，当时，不满足退出循环的条件，故，当时，不满足退出循环的条件，故，当时，不满足退出循环的条件，故，当时，不满足退出循环的条件，故，当时，不满足退出循环的条件，故，当时，满足退出循环的条件，故输出故选【点睛】本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。8曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为ABCD【答案】C
6、【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线yx求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为则直线l方程为，即，可求直线l与yx的交点为A（），与y轴的交点为，在OAB中，当且仅当22时取等号由正弦定理可得OAB得外接圆半径为，则OAB外接圆面积，故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题9已知为实数，
7、若，则函数的单调递增区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】对函数求导，由求出a,然后解不等式即可得到答案.【详解】，则又则，解得a=-2,解得,则函数的单调递增区间为故选：B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是基础题10定义在上的函数，且，则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ）ABCD【答案】A【解析】f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，g（x）=，g（x）关于直线x=2对称分别作出函数f（x），g（x）在5，9上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为8个，设8个交
8、点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6， 且这8个交点接近点（2，0）对称，则（x1+x8）=2，x1+x8=4，所以若x1+x2+x3+x4+x5+x6 =4（x1+x8）=44=16，但是不都是对称的，由图象可知，x1+ x84，x2+x74， 第五个交点为空心的，跟等于3x1+x2+x4+x5+x6 最接近14故选A点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。注意函数的图像画的要准确一
9、些。11如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A B C D【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO由题意，得CD=150（米），OD=100（米），CDO=60，在CDO中，即，解得（米）【考点】1扇形面积公式；2余弦定理求三角形边长12是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ）A的图象关于对称 B有最大值1C在上有5个零点 D当时， 【答案】C【解析】f（x）是定义在R上的奇函数，对xR，
10、均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，则f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；f（x）（-1，1），无最大值，故B错误；整数均为函数的零点，故f（x）在-1，3上有5个零点，故C正确；当x2，3）时，x-20，1），则f（x）=f（x-2）=2x-2-1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；故选C.点睛:本题是函数性质的综合应用,已知对称中心,周期能推出另一个对称中心,根据某区间上的解析式,结合周期性,对称性可以得到一个周期中的函数图象,从而关于最值,零点等问题都可以解决.二、填空题13在中，已知，若，则周长的取值范围为_【答案】【解析】由题中条件先求出，然后由余弦定理可得，利
11、用基本不等式可得到，再由三角形中两边之和大于第三边可得，从而可得到的取值范围，即周长的范围。【详解】由题意，即，可化为，即，因为，所以，即，设的内角的对边分别为，由余弦定理得，因为，（当且仅当时取“=”），所以，即，又因为，所以，故，则，又因为，所以，即.故周长的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的运用，利用基本不等式求最值，三角形的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于中档题。14曲线在点（0,0）处的切线方程为_；【答案】【解析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程.【详解】，则，故【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础
12、题.15各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_.【答案】10【解析】根据等比数列和项性质列方程解得结果.【详解】由题意得，成等比数列，则，所以,或90，因为各项均为正数，所以，因此.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.16已知且,则_。【答案】1【解析】整理得：由此得到，问题得解。【详解】因为，所以，整理得：，又，所以，所以，所以【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考查了三角恒等式，属于基础题。三、解答题17在中，内角的对边分别为，已知求；若，且面积，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）
13、由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A（0，），可求A的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值【详解】（1），b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，A（0，），A= （2），且ABC面积=bcsinA=2cc，解得：c=2，b=4，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos
14、A=48+4-22=28，解得：a=2【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18在中，.(1) 求角的大小；(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；（2）在直角与直角中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值.试题解析：（1）由，两边平方，即，得到，即。 所以 . （2）在直角中， ，在直角中， ， 又，所以， 所以 ， 由得，故，当且仅当时，从而 . 19在中，内角的对边分别为，三边成等比数列
15、，且面积为1，在等差数列中，公差为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）由，解得从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法得到前项和，从而得到的取值范围.【详解】解：（1），.（2），是关于n的增函数，.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域）设计成
16、半径为的扇形，中心角为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域）和休闲区（区域），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；（2）试问：当为多少时，年总收入最大？【答案】（1）（2）【解析】（1）由，所以与全等.可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1
17、），所以与全等.所以，观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.（2）种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，其中，求导可得.当时，递增；当时，递增.所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.21已知函数.(1)当时求函数的最小值；(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.【答案】(1)4.(2) .【解析】试题分析：（）结合题意利用基本不等式求解即可（）由题意得在上恒成立，转化为在上恒成立构造函数，求得函数的最值后可得结论试题
18、解析：（）当时，当且仅当，即时等号成立，所以 （）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则在上单调递减，在上单调递增，又，解得，所以实数的取值范围是22已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；（2）由，得。因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数。试题解析：（1），因为，所以，当x变化时，的变化情况如下表：100递增极大值递减极小值递增由表可得当时，有极大值，且极大值为
19、，当时，有极小值，且极小值为.（2）由（1）得。 ，. 当时，在上单调递增，在上递减又因为所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，所以上有两个零点。 当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，又因为所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，所以在上有且只有只有一个零点.综上：当时，在上有两个零点；当时，在上有且只有一个零点。点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。第 18 页 共 18 页
