1、2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则ABCD【答案】B【解析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】,所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2设复数z，则|z|（）AB CD【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.【详解】解：z,则|z|.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3在等差数列an中，若a35，S424，则a9（ ）A5B7C9D11【答案】B【解析】由a35，S424用通项公式和前项和公式列出关于,的方程
2、，得到的通项公式，从而求出答案.【详解】数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a35，S424，a1+2d5，4a1+d24，联立解得a19，d2，则a99287故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.4已知幂函数x的图象经过点 （3，5），且a（），b，clog，则a，b，c的大小关系为（ ）AcabBacbCabcDcba【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f（x）x中的的值，再结合指数、对数函数的单调性比较的大小即可.【详解】解：幂函数f（x）x的图象经过点 （3，5），35，log35（1，2），0a1，b1，cloglog10，cab故选：A
3、.【点睛】本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A该市总有 15000 户低收入家庭B在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭9006%15000（户），A
4、正确，该市从业人员中，低收入家庭共有1500012%1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有1500029%4350（户），C正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有150004%600（户），D错误故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6平面内不共线的三点O，A，B，满足1，2，点C为线段AB的中点，若 ，则AOB（）ABCD【答案】C【解析】点C为线段AB的中点,在中，则, 将两边平方结合向量数积的定义得到答案.【详解】解：点C为线段AB的中点,在中，则,两边平方得：,由1，2， 且
5、向量，的夹角为即，解得：.又，所以.故选：C【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7的展开式中x2y2项的系数是（）A420B420C1680D1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x2y2项的系数.【详解】解：表示8个因式的乘积，要得到展开式中含x2y2的项，则故其中有2个因式取2x，有2个因式取，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项故展开式中x2y2项的系数是22 420，故选：A【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图
6、是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）ABC27D18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积.故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为 ,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:
7、A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是A，B，C，D，【答案】C【解析】结合图形，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值【详解】如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，此时，圆心到直线的距离等于1，即，解得的最大值为：，当下移与圆相切时，取最小值，同理，即的最小值为：，所以故选
8、：【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力11关于函数|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：是偶函数；是的最小正周期；在，上单调递增；的值域为2，2上述结论中，正确的个数为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简，由，可判断；可令，可得，由函数的周期性可判断；由的单调性，结合复合函数的单调性可判断；由二次函数的单调性可判断【详解】解：f（x）|cosx|+cos|2x|cosx|+2cos2|x|1，由cos|x|cosx，可得|cosx|+2cos2x12|cosx|2+|cosx|1，由，则为偶函数
9、，故正确；可令t|cosx|，可得，由y|cosx|的最小正周期，可得的最小正周期为，故正确；由ycosx在，0递增，在0，递减，可得f（x）在，递增，在，递减，故错误；由t0，1，可得在0，1递增，则的值域为1，2，故错误故选：B【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题12已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列前项和满足：是2的整数次幂，则满足条件的最小的为A21B91C95D10【答案】C【解析】构造数列，使得：，求出数
10、列的前项和，根据题意可表示出原数列与的关系，以及原数列前和与数列的前项和的关系，讨论出满足条件的的最小值即可。【详解】根据题意构造数列，使得：，故，所以数列的前项和令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，为，根据题意可得：，则数列的前项和，所以要使数列前项和满足：，则，则，故，故D答案不对。由于是2的整数次幂，则，则，则，当时，则，解得：，故满足条件的最小的为95，故答案选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查学生的计算能力，属于难题。二、填空题13椭圆1的离心率是_【答案】【解析】根据椭圆方程得到a2，b,求出，由离心率的公式可得椭圆的离心
11、率.【详解】解：由椭圆的标准方程可知，a2，b，c1e故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆方程求椭圆的离心率，属于基础题.14设某总体是由编号为01，02，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为_1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【答案】06【解析】按照随机数表法依次选取在总体编号范围内的样本编号即可，注意重复的样本号码应舍去【详解】解：由题意依次选取的样本编号为：18
12、，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06故答案为：06【点睛】本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题15已知点A（0，1），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|1：2，则实数a的值为_【答案】【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，以及直线AF的方程，设M（x1，y1），N（，y2）,由条件可得M，N的坐标，结合抛物线的方程可得a.【详解】抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F（，0），准线方程为x，可得直线AF的方程为y1x，设M（x1，y1），N
13、（，y2），可得y21（）2，由|FM|：|MN|1：2，可得，可得y1，代入直线方程可得x1，代入抛物线方程可得，可得a故答案为：【点睛】本题抛物线方程和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题16已知四棱锥SABCD的底面为矩形，SA底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E若SAAB3，则SED面积的最小值为_【答案】【解析】设BE=x，EC=y，则BC=AD=x+y，推导出SAED，ED平面SAE，EDSE，AE=，ED=，推导出，SE= ，ED=，从而SSED=SEED=由此能求出SED面积的最小值【详解】解：设BEx，ECy，则BCADx+y，SA平面ABC
14、D，ED平面ABCD，SAED，AEED，SAAEA，ED平面SAE，EDSE，由题意得AE，ED，在RtAED中，AE2+ED2AD2，x2+3+y2+3（x+y）2，化简，得xy3，在RtSED中，SE，ED，SSED，3x2+236，当且仅当x，时，等号成立，SED面积的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查空间几何体的线面关系及基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题17的内角，的对边分别是，已知.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化
15、简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.【详解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因为，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因为，所以.又因，所以.所以的面积.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18如图，在三棱锥PABC中，ACBC，AB2BC，D为线段AB上一点，且AD3DB，PD平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45（1）求证：平面PAB平面PCD
16、；（2）求二面角PACD的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）推导出ACBC，CDAD，PDCD，从而CD平面PAB，由此能证明平面PAB平面PCD（2）以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值【详解】（1）证明：ACBC，AB2BC，AB2AC2+BC2，ACBC，在RtABC中，由ACBC，得CAB30，设BD1，由AD3BD，得AD3，BC2，AC2，在ACD中，由余弦定理得CD2AD2+AC22ADACcos303，CD，CD2+AD2AC2，CDAD，PD平面ABC，C
17、D 平面ABC，PDCD，又PDADD，CD平面PAB，又CD 平面PCD，平面PAB平面PCD（2）解：PD平面ABC，PA与平面ABC所成角为PAD，即PAD45，PAD为等腰直角三角形，PDAD，由（1）得PDAD3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），P（0，0，3），（0，3，3），（），则（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量（x，y，z），则，取x，得（，1，1），设二面角PACD的平面角为，则cos，二面角PACD的平面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂
18、直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19已知椭圆C：+y21，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN0，求pq的值【答案】（1）x+2y20；（2）pq4【解析】(1)设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，然后相减用点差法将中点公式代入，可求出直线M N的斜率，然后写出直线方程.(2)设出直线M N的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入用M， N的坐标表示出kQM+kQN0的式子
19、中，可求出答案.【详解】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得.，由题意可知x1+x22，y1+y21，代入可得直线MN的斜率k.所以直线MN的方程y（x1），即x+2y20，所以直线MN的方程x+2y20.（2）由题意可知设直线MN的方程yk（xp），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x28k2px+4k2p240，则x1+x2，x1x2，由kQM+kQN0，则0，即y1（x2q）+y2（x1q）0，k（x1p）（x2q）+k（x2p）（x1q）0，化简得2x1x2（p+q）（x1+x2）+2pq0，+2pq0，化简得：2pq80，pq4
20、20某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列定义随机变量X（xAyA）2+（xByB）2+（xCyC）2+（xDyD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解（）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的
21、概率；（）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由【答案】（1）（）（）分布表见解析；（2）理由见解析【解析】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列（2）假设家长对小
22、孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A
23、，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表： X 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P （2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X4）P（
24、X0）+P（X2），三轮游戏结果都满足“X4”的概率为（）3，这个结果发生的可能性很小，这位家长对小孩饮食习惯比较了解【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21已知函数f（x）ln（ax+b）x（a，bR，ab0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）0恒成立，求ea（b1）的最大值【答案】（1）讨论见解析；（2）最大值为0【解析】（1）分时，时，两种情况讨论单调性（2）由（1）知：当时，取且时，与题意不合，当时，由题目中恒成立可得，,得，所以，令，只需求即可.【详解】（1）当a0时，则f（x）的定义域为（，+），由f（x）0，得
25、x1，所以f（x）在（，1）单调递增，在（1，+）单调递减，当a0时，则f（x）的定义域为（，），由f（x）0得x1，所以f（x）在（，）单调递减综上：当a0时，f（x）在（，1）单调递增，在（1，+）单调递减.当a0时, f（x）在（，）单调递减（2）由（1）知：当a0时，取x0且x00时，f（x0）ln（a+b）x00，与题意不合，当a0时，f（x）maxf（1）lna1+0，即b1 aalna1，所以ea（b1）（aalna1）ea，令h（x）（xxlnx1）ex，则h（x）（xxlnxlnx1）ex，令u（x）xxlnxlnx1，则u（x）lnx，则u（x），u（x）在（0，1）上单调
26、递增，在（1，+）上单调递减则u（x）maxu（1）0，从而u（x）在（0，+）单调递减，又因为u（1）0所以当x（0，1）时，u（x）0，即h（x）0；当x（1，+）时，u（x）0，即h（x）0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，所以h（x）maxh（1）0所以ea（b1）的最大值为0.【点睛】本题考查利用导数讨论函数单调性，求函数的最值，属于导数的综合应用，在解题过程中多次求导分析函数的单调性得出函数最值,属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）1（1）求
27、直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值【答案】（1）l： ，C方程为 ；（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到，进一步转换为直线l的极坐标方程为cos（+）1，则 转换为直角坐标方程为（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，所以【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用
28、，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23已知x，y，z均为正数（1）若xy1，证明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若，求2xy2yz2xz的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0xy1时, 即可证明|x+z|y+z|4xyz.（2）由, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3，从而求出2xy2yz2xz的最小值.【详解】（1）证明：x，y，z均为正数，|x+z|y+z|（x+z）（y+z），当且仅当xyz时取等号又0xy1，|x+z|y+z|4xyz；（2），即，当且仅当xyz1时取等号，xy+yz+xz3，2xy2yz2xz2xy+yz+xz8，2xy2yz2xz的最小值为8【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题第 21 页 共 21 页
