1、2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题1复数的模为（ ）A1BCD5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】根据题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】对集合进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为，因为集合所以.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3已知向量，则实数是的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出，然后
2、分别判断由能否得到，和由能否得到，从而得到答案.【详解】因为向量，所以因为，所以可得，所以是的充分条件.因为，所以即.所以是的不必要条件.综上所述，实数是的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】按和，分别解不等式，从而得到答案.【详解】根据题意，由不等式得或所以或.即所以不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图ABCD【答案】C【解析】根据三视图还
3、原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥和三棱锥两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面平面，平面，与均是边长为的等边三角形，点在平面上的射影落在的平分线上，所以平面，所以，所以几何体的体积为.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6函数的图象在点处的切线与函数的图象围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】对求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】由题意，所以切线方程为，与的交点横坐标
4、为，.故封闭图形的面积故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7已知数列满足，设数列的前n项和为，若，则与最接近的整数是（ ）A5B4C2D1【答案】C【解析】根据递推关系式，得到，得到的通项，从而得到的通项和前项和，从而求出，再得到，从而得到答案.【详解】由题意，所以，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以，因此，数列的前n项和为，所以.所以与最接近的整数是.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【
5、解析】画出的图像，然后得到的图像和的图像有两个交点，从而得到的取值范围.【详解】根据函数，画出的图象如图所示，函数有两个零点则函数的图象与的图象有2个交点，所以，所以实数的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9如果函数的单调递增区间为，则的最小值为（ ）AB2C1D【答案】A【解析】由单调递增区间为，得到对称轴方程，即，再根据基本不等式求出的最小值，得到答案.【详解】因为函数的单调递增区间为所以对称轴为：，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10已知 则
6、 （ ）ABCD【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11如图，在三角形中，上有一点满足，将沿折起使得，若平面分别交边，于点，且平面，平面则当四边形对角线的平方和取最小值时，（ ） ABCD【答案】B【解析】易得，设，易得，得，从而得到，平行四边形中，从而得到最小时的值，得到答案.【详解】平面，平面，平面平面，所以，同理设，平面，平面，平面平面，所以，同理所以，因为，所以，在平行四边形中，又，当时，取得最小值.故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线
7、线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12定义在上的函数满足，任意的，函数在区间上存在极值点，则实数m的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据得到周期为，再求得，得到，求导得到，判断出的两根一正一负，则在区间上存在极值点，且，得到在上有且只有一个根，从而得到关于的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于不等式组，解得的范围.【详解】由题意知，所以是以4为周期的函数，所以，求导得，令，由，知有一正一负的两个实根.又，根据在上存在极值点，得到在上有且只有一个正实根.从而有，即恒成立，又对任意，上述不等式组恒成立，进一步得到所以故满足要求的的取值范围为：.故选：C.【点
8、睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则_.【答案】【解析】将转化为，从而得到的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14已知x，y满足不等式组，则的最小值为_.【答案】【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点与点两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案.【详解】因为已知x，y满足不等式组，画出可行域，如图所示，表示点与点两点连线的斜率， 所以可得当
9、直线过点时，最小，由得所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15如图，底面为正方形，四边形为直角梯形，平面，则异面直线与所成的角为_.【答案】【解析】设正方形的中心为，可得，得到直线与所成角为（或其补角），根据余弦定理，可得的值，从而得到答案.【详解】如图，设正方形的中心为，连接，则因为，所以，所以为平行四边形，所以，所以直线与所成角等于与所成的角，即（或其补角），因为，在三角形中，根据余弦定理，可知，所以.故答案为：.【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16已知函数在区间上有最小值，无最大值，则_.【答案】【解析】先对进
10、行整理，得到，根据最小值，得到，然后根据在区间无最大值，得到周期的范围，从而得到的范围，确定出的值.【详解】，依题意，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：.【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17已知递增的等比数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据等比数列，解出和的值，从而得到公比，得到的通项公式；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法和分组求和的方法求出的前n项和.【详解】（1）由题意，解得或；而等比数列递增，所以，故公比
11、，所以.（2）由（1）得到，所以，设，两式相减可得，故，所以.【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前项的和，属于简单题.18已知函数在区间上为单调递减函数.（1）求的最大值；（2）当时，方程有三个实根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先求得，根据在区间上为减函数，得到在区间上恒成立，从而得到关于，的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到的最大值；（2）根据，得到的范围，设，求导得到，令得到或，从而得到的极值点，根据有个零点，得到的不等式组，解得的范围.【详解】（1），因为在区间上为减函数，所以在区间上恒成立即，画出可行域如图所示：设，
12、所以，表示直线，在纵轴上的截距.当直线经过点时，最大，由所以，故的最大值为.（2）由得代入可得，令，故由，得或，所以得到和随x的变化情况如下表：极大值极小值要使有三个零点，故需即解得，而所以的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19已知的内角，所对的边分别为， ，满足，且边上一点使得.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余
13、弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为在，由正弦定理所以得.所以.即所以，因为，所以（2）由（1）知，而为等边三角形.由于是的外角，所以.在中，由正弦定理得，即，所以.所以由余弦定理得，即，所以，故，所以.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且为的中点，延长交于点，且在底内的射影恰为的中点，为的中点，为上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据平面ABCD，得到，由平面几何知识得到，从而得到
14、平面，所以所以平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值.【详解】（1）由题意，E为CD的中点，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，所以垂直平分，所以又因，所以为正方形，所以因为为的中点，所以而，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为在底面ABCD内的射影恰为OA的中点H，所以.因为，所以过点O分别作AD，AB的平行线（如图），并以它们分别为x，y轴，以过O点且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，所以令，则，由（1）知，平面，所以平面
15、，所以为平面的一个法向量，则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21已知函数与满足的函数具有相同的对称中心.（1）求的解析式；（2）当，期中，是常数时，函数是否存在最小值若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）（3）【解析】（1）根据关于对称，从而得到，整理化简，得到的值；（2）判断出的单调性，得到当时，单调递减，从而得到最小值；（3）由得到，关系，然后将代入到，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为，所以，所以图象关于对称，所以所以解得，
16、所以.（2）的定义域为，当且时，为减函数，所以当时，单调递减，所以当时，.（3）由，得解得，所以令，则，当且仅当时，等号成立，即当，时，的最小值为.【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22已知函数，函数的图象经过，其导函数的图象是斜率为，过定点的一条直线.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.（2）2【解析】对求导，得到，按和进行分类讨论，利用导函数的正负，得到的单调性；（2）根据题意先得到，然后得到的解析式，设，按和分别讨论，利用得到
17、的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于时，整数的最小值.【详解】（1）函数的定义域是，当时，所以在上为减函数，当时，令，则，当时，为减函数，当时，为增函数，综上，当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.（2）根据题意，设，代入，可得，令，所以.当时，因为，所以.所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立.当时，令，得.所以当时，；当时，因此函数在上是增函数，在上是减函数.故函数的最大值为.令，因为，又因为在上是减函数.所以当时，.所以整数的最小值为.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.第 24 页 共 24 页
