1、2020届河北省张家口市高三12月阶段检测数学（理）试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】首先解不等式确定集合，再由交集定义求得交集【详解】由题意，故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，求解时需选确定集合中的元素，然后才可以求交集运算2在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，则（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得【详解】由题意，成等比数列，即，解得故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质属于基础题3已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由（）（），用诱导公式求解【详解】故选：B【点睛】本题考查诱导
2、公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公式4若直线（，）过点，则的最小值等于（ ）A9B8CD【答案】A【解析】把代入直线方程得满足的等量关系，用“1”的代换把凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值【详解】直线（，）过点，当且仅当，即时等号成立，的最小值为9故选：A【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法5已知，则下列命题中必然成立的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】由不等式的性质判断每一个命题是否正确，可举反例不等式不成立【详解】若，则，A错；
3、满足，但是，B错；若，则，C正确；，但，D错。故选：C。【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质成立的条件是解题基础对不一定成立的不等式可通过举反例说明6已知点为双曲线：上的动点，点，点.若，则（ ）A27B3C3或27D9或21【答案】A【解析】求出双曲线的半焦距，说明是双曲线的焦点，根据双曲线的定义计算，但要由已知条件确定点是否可能在两支上【详解】由题意，则，是双曲线的焦点，又，点在双曲线的左支上，故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，可用双曲线的定义求解注意双曲线的定义是，解题时如不能确定双曲线上的点在哪支上，则两支都有可能7已知菱形的边长为,点
4、是上靠近的四等分点,则（ ）ABCD【答案】C【解析】选取和为基底, 菱形的边长为,则,用基底,分别表示与即可求得.【详解】画出几何图像:选取和为基底, 菱形的边长为 ,点是上靠近的四等分点 由 可得: 故选:C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用,考查数形结合思想,求解过程中要注意基底选择的合理性,即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.8已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为函数,判断的奇偶性和单调性,即可求解,进而求得实数的取值范围.【详解】 则定义是.又 ,可得: 是奇函数. 则 是单调增函数. 故: ,化简可得: ,即根据是单调减函数,得: ,
5、故选:D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性,考查函数的奇偶性,解题关键是掌握利用单调性和奇偶性解函数不等式,属于基础题.9已知三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据三棱锥中,构建长方体,即长方体体对角线是外接球的直径,即可求得外接球的表面积.【详解】 在中, , ,故是直角三角形且为直角. 中, ,故是直角三角形且为直角.可得 结合已知 可得:面 可构建长方体,如图:则三棱锥的外接球的直径是长方体体对角线, 外接球的 根据球的表面积公式:.故选:B.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题,其中解答中根据几何体的结构特征,构建长方体,得到长方体
6、的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力.10已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则（ ）A或B或C或D【答案】D【解析】因为抛物线的准线为,是上一点,所以设点,利用,求得,即可求得答案.【详解】抛物线的准线的方程为,焦点为.设点，即 可得: ,即 ,代入解得: 即: 由两点间距离公式可得: 故选:D.【点睛】本题考查抛物线定义的应用,同时也考查了共线向量的坐标运算,解题的关键就是求出点 的纵坐标,考查运算求解能力,属于中等题.11定义在上的运算：，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由新定
7、义把不等式转化为，然后由不等式恒成立求得的范围【详解】由题意，即对恒成立，当时，解得或故选：A【点睛】本题考查新定义，考查不等式恒成立问题，解题关键是利用新定义把“新不等式”转化为我们熟悉的不等式，然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围12已知函数,若存在实数,满足,其中,则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为且,由图像可知在二次函数图像上且,数形结合求出的取值范围,即可求得的取值范围.【详解】画出图像,如图 且,由图像可知在二次函数图像上且由图可知,即 的取值范围是:.故选:D.【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形
8、结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.二、填空题13已知的内角,的对边分别为,且,则的面积为_._.【答案】；【解析】将化简可得: ,由余弦定理,解得,结合已知,由三角面积公式,即可求得的面积.【详解】 可得 即 可得: 又,故 是等腰三角形, 由三角形面积公式: 故答案为:.【点睛】本题主要考查解三角形的问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.14已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是_.【答案】【解析】根据双曲线的定义求轨迹方程【详解】在
9、的中垂线上，又，点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，又关于原点对称，点轨迹方程为故答案为：【点睛】本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题根据双曲线定义确定动点轨迹是双曲线，然后求出得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程15已知,将,按从小到大的顺序排列_.【答案】；【解析】根据指数函数是减函数,可得:,根据幂函数是增函数可得:,即可求得,按从小到大关系.【详解】 指数函数是减函数可得: 幂函数是增函数可得: 即:有 综上所述, 故答案为:.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.16已知双曲线：（，）的右焦点为，是双
10、曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】由得，从而有，因此可得坐标，于是有中点坐标，代入渐近线方程可得的等式，转化后可求得离心率【详解】如图，设在渐近线上，而，是中点，由已知在渐近线上，故答案为：2【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线方程，考查向量的数量积与垂直的关系解题关键是寻找关于的等式，然后转化后可求得题中用到一个结论：在渐近线上在第一象限内的点，且则有三、解答题17若数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）； （2）.【解析】（1），时，由可得数列的递推关系，从而
11、确定数列是等比数列，易得其通项公式；（2）数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此用错位相减法求和【详解】（1）数列的前项和为，且，当时，当时，得，即（常数），故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由于，所以，所以，得，整理得.【点睛】本题考查由与的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和在由时，要注意，与它们的求法不同，要分类求解数列求和问题中有两类数列的求和法一定要掌握：数列是等差数列，数列是等比数列，则数列的和的求法是裂项相消法，数列的和的求法是错位相减法18在中,内角,所对的边分别为,已知.（1）求角的大小;（2）若,求的周长的取值范围.【答案】（1）（2）
12、【解析】（1）逆用二倍角公式将原式降幂,将化简为:, 根据辅助角公式: ,(),即可求得角的大小;（2）由余弦定理,得,故,可得,即可求得的周长的取值范围.【详解】（1）可得即根据辅助角公式: ,() ， ，由于.解得.（2）由余弦定理得即由得解得:.当且仅当时取等号;又得;所以 周长的取值范围为【点睛】本题主要考查由辅助角公式和余弦定理解三角形,解题关键是掌握辅助角公式: ,(),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19如图（1）,在直角梯形中,过点作,垂足为,现将沿折叠,使得,如图（2）.（1）求证:平面平面;（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据已知求证
13、平面,即可求证:平面平面;（2）设平面的法向量和平面的法向量,求出和,根据,即可求得二面角的大小.【详解】证明：（1） , ,又,故:平面,平面,故:平面平面.（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图:设, ,可得:,设平面的法向量,则,取,得,平面的法向量,设二面角的大小为,则, ,二面角的大小为.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题和求二面角的计算,在处理翻折问题时,要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.20已知抛物线：上一点到其焦点的距离为5.（1）求与的值；（2）设动直线与抛物线相交于，两
14、点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）,； （2）存在点.【解析】（1）由抛物线上点的焦半径为可求得，从而再求得；（2）假设设存在点满足条件，令，条件转化为，即，整理得：，由直线方程与抛物线方程联立后消去（注意讨论的情形），得的方程，由韦达定理得，代入它是与无关的等式，从而可得【详解】（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，得，.（2）抛物线方程为：，当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，当时，令，设存在点满足条件，即：，即，整理得：，整理得，解的，因此存在点满足题意.【
15、点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题对存在性命题，一般是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法如果能求出定点，说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意21已知椭圆:（）的左,右焦点分别为，,且经过点.（1）求椭圆的标准方程;（2）若斜率为的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值（为坐标原点）.【答案】（1）（2）【解析】（1）由椭圆的定义,可知,解得,由,即可求得椭圆的标准方程;（2）设直线的方程为,联立,消掉得得:, 根据韦达定理可得:,.根据弦长公式求,由点到直线:的距离,求得的边上的高,即可求得面积的最大值.【详解】（1）由椭圆
16、的定义,可知.解得.又 . 椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为,联立,消掉得得:. ,得.设,根据韦达定理可得:,.根据弦长公式得: 点到直线:的距离: 当即,时取等号; 面积的最大值为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.22已知函数,.（1）若,函数在点处切线方程为,求实数的值;（2）证明时,.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）因为,则,可得,故,即可求得实数的值;（2）时, 故求证,即可求证.【详解】,（1） , , ,可得:,又 函数在点处切线方程为,故 ,解得;（2）时,下面求证:令,则可得:当时,单调递增;当时,单调递减;,;即而,所以,得证. 时,【点睛】本题主要考查了导数的应用,利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式,掌握导数的相关知识是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.第 20 页 共 20 页
