1、武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ，若，则 A B. C D 2已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A第一象限 B. 第二象限 C第三象限 D第四象限3已知是各项均为正数的等比
2、数列，则 A B. C D 4已知，则，的大小关系为 A B C D 5等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，那么 A B. C2 D4 6某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是A B. C D 7已知数列的前项和，设，为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A B. C D 8已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为 A B. C D ABECDMA19如图，已知平行四边形中，为边的中点，将沿直
3、线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：线段的长是定值；存在某个位置，使；存在某个位置，使平面.其中，正确的命题是A B C D10函数（，）的部分图象如图所示，给出下列说法：函数的最小正周期为；直线为函数的一条对称轴；点为函数的一个对称中心；函数的图象向右平移个单位后得到的图象.其中正确说法的个数是 A1 B2 C3 D4 11已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆半径为r1，的内切圆半径为r2，则的值等于A3 B2 C D 12已知函数，的最小值分别为，则A B C D，的大小关系不确定 二、填空题：本题共
4、4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中，项的系数是_.14已知一组数据10，5，4，2，2，2，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为_. 15过动点作圆：的切线，为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为_. 16用表示函数在闭区间上的最大值，若正数a满足，则a的值为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本题12分）在中，已知，是边上的一点，.（1）求；（2）求的面积.18（本题12分）A1CBAB1DC1EF如图，在直
5、三棱柱中，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.19（本题12分）已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆的方程；（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.20（本题12分）0.000500.000750.001000.00125120010008006004002000金额（单位：元）频率组距某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：0，200，200，
6、400，400，600，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每
7、次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附：P（）0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879.21（本题12分）已知函数. （1）若对恒成立，求实数a的值；（2）若存在不相等的实数，满足，证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（本题10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x
8、轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为. （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值23选修4-5：不等式选讲（本题10分） （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求证：武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题： 题号123456789101112答案DABDDDACBCAA二、填空题： 13. 240 14.，3，17 15. 16.或三、解答题： 17（本题12分）在中，已知，是边上的一点，.（1）求；（2）求的面积.解：（1）在中，由余弦定理，得，所以，从而.在中，由正弦定理，得，
9、所以. （4分）ABCD（2）由（1）知，且.所以，所以. （12分）A1CBAB1DC1EFGH18（本题12分）解：（1）因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.易证，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. （4分）（2）方法一：过作，垂足为，过作于，连结，则可证为二面角的平面角.在中，求得；在中，求得.所以. （12分）方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.19（本题12分）解：（1）由及，得，.所以，椭圆的方程为. （4分）（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得.由，得.设，则，.于是.又，坐标原点到直线的距
10、离为.所以，的面积.因为，所以，.当直线的斜率不存在时，设其方程为，同理可求得.所以，面积的最大值为. （12分）20（本题12分）解：（1）因为（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元 （2分）（2）列联表如下：健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100因为，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系 （6分）（3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000 ，所以（元）因为，所以选择方案二更划算 （12分）21（本题12分）解：（1）令，则.由题意，知对恒成立，等价.当时，由知
11、在上单调递增. 因为，所以不合题意；当时，若，则，若，则，所以，在单调递减，在上单调递增.所以.记，则.易知在单调递增，在单调递减，所以，即.而，所以，解得. （6分）（2）因为，所以.因为，所以.令，则.记，则，所以在上单调递增.又，由，得，所以，即. （12分）另证：不妨设，因为，所以为增函数.要证，即要证，即要证.因为，即要证.记，则.所以，从而，得证.22选修4-4：坐标系与参数方程（本题10分）解：（1）方程可化为.方程可化为. （5分）（2）将代入，得.设方程的两根分别为，则. （10分）23选修4-5：不等式选讲（本题10分） 解：（1）方法一：因为，因为存在实数，使成立，所以，解得.方法二：当时，符合题意.当时，因为所以.因为存在实数，使成立，所以.当时，同理可得.综上，实数的取值范围为. （5分）（2）因为，所以，当且仅当时取等号. （10分）9第页
