1、2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1设集合,，则 ABCD【答案】A【解析】先对集合B化简,再求交集.【详解】解：，所以,故选:A.【点睛】本题考查了集合的化简以及交集运算,属于基础题2已知,为第三象限角,则 ABCD【答案】A【解析】已知等式利用诱导公式化简求出的值,根据为第三象限角,利用同角三角函数间基本关系求出的值,即可确定出的值.【详解】解：,即,为第三象限角,，则，故选:A.【点睛】此题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题.3设等差数列的前项和为，若，则( )ABCD【答案
2、】B【解析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得；因此.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.4下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是( )ABCD【答案】C【解析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案【详解】解：因为A的定义域为不关于原点对称,故不是偶函数,则A错误;因为在单调递减,lnx在单调递增,由复合函数的性质可知,在单调递减,故B错;函数是偶函数,且在单调递增,故C正确;由的图象知在不单调,故D错.故选:C.【点睛】本题考察了常见函数的基本性质,属于基础
3、题.5函数的图象是( )ABCD【答案】A【解析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案【详解】解：由,即由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线的一部分,考察四个选项,只有A选项符合题意.故选:A.【点睛】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题.6已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A1B3C6D9【答案】D【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可
4、知，最后计算的值.【详解】由 ，可得，进而可得 ， .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.7己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，设，则( )ABCD【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.【详解】解：由题意:对任意,在上为减函数；函数是偶函数关于y轴对称；,故选:C.【点睛】本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.8函数的图象可由的图象如何得到( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答
5、案】D【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系进行判断即可【详解】解：，即的图象可由的图象向右平移个单位得到，故选:D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换关系,利用诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键,属于基础题.9已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需01-a1，即 即可故选B。10
6、下列四个命题：函数的最大值为1；“，”的否定是“”；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件其中错误的个数是( )A1B2C3D4【答案】A【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.【详解】解：由,得的最大值为,故错误;“,”的否定是“”,故正确;为锐角三角形,则，在上是增函数,同理可得，,故正确;,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,可得函数在区间内单调递增;若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,“”是“函数
7、在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确其中错误的个数是1.故选:A.【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题11设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为( )ABC3D8【答案】C【解析】本题为一元二次方程的实根分布问题,分别讨论和,根据一元二次函数的图象依次根据开口方向,对称轴,判别式,区间端点列出不等式组,得到满足的条件,所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域,数形结合解这个线性规划问题即可【详解】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交
8、点，由题意可得：或，即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍);化简得,在直角坐标系中作出满足不等式可行域, 可行域阴影部分如图所示,设,则直线经过图中的可行域中的整点时,取得最小值,即故选:C.【点睛】本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合,运用数形结合思想,是中档题.12某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数x均成立，其中正确命题的个数是( )A1B2C3D4【答案】B【解析】判断函数的奇偶性,再由导数研究单调性判断正误;找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误;说明不
9、恒成立,判断错误;找出一个常数M,使对一切实数均成立即可.【详解】解：,当时,在上单调递增,又，是偶函数,因此在上为减函数,故正确;,故点不是函数图象的一个对称中心,故错误；,若，则恒成立即,不满足对任意恒成立,函数图象不关于直线对称,故错误；取即可说明结论是正确的，故正确正确命题的个数是2故选:B.【点睛】本题考查三角函数的基本性质,考查函数的对称性与最值,训练了利用导数研究函数的单调性,是中档题.二、填空题13已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为_【答案】2【解析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，再讨论是否满足是上的减函数【详解】解：函数是幂函数,则,即,解得或;当时,函数是上的
10、减函数,满足题意;当时,函数不是上的减函数,不满足题意;所以的值为2故答案为:2【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,属于基础题14已知定义在R上的奇函数满足：当时，则_【答案】2【解析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案【详解】解：因为在R上的奇函数,当时,，,;所以答案为:2【点睛】本题考查了函数的奇函数性质,属于基础题15设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，此时函
11、数单调递减；当时，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则_【答案】1【解析】本题先要根据题意画出图象,找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点,然后代入运算，即可得到结果【详解】解：由题意画出图象如下：根据题意,很明显,在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点则由在
12、点D处,，而，且，故答案为:1【点睛】本题主要考查数形结合法的具体应用,以及直线与曲线相切的概念,并运用导数进行计算和三角函数计算的能力本题属中档题17命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围【答案】【解析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可【详解】解：命题为真命题，为假命题；一真一假命题：实数a满足：的定义域为R；则恒成立，即，；故：;命题：函数在上单调递减;；,故：;若真假，则，解得；若假真，则，解得；综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性
13、、不等式恒成立问题,考查了等价转化方法、复合命题的真假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.三、解答题18已知函数求在区间上的最大值和最小值；若，求的值【答案】（1），；（2）【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值【详解】解：,则，；由,得,【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题19已知数列是递增的等差数列，是方程的根求数列的通项公式；求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】由二次方程的解法可得，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求
14、通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】解：数列是递增的等差数列,设公差为,，是方程的根,可得,则,解得,则;(2)由(1)得所以,则则前n项和【点睛】本题考查等差数列的通项公式,数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于一般难度的题20中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完求年利润万元关于年产量台的函数关系式；当年产
15、量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元【解析】根据条件，利润为分段函数，分别表示即可；分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可【详解】解：设利润为y万元,由题得,当时,;当时,则;由得，当时，所以时y取最大值为1100万元；当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元【点睛】本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题21
16、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，求的面积的最小值【答案】（1），（2）【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值【详解】解：，由正弦定理得：，可得，即;,由由余弦定理可得：，如图所示:设，,在中由正弦定理,得,由可知,所以:,同理,由于,故，此时故的面积的最小值为【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22已知函数当时，求函数的最小值；若时，求实数a的取值范围【答案】（1）最小值为1（2）【解析】当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可若时,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可【详解】解:当时,函数的解析式为,则:,时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减，函数的最小值为：若时，即令，则；令，则；函数在区间上单调递增，若，则，即，函数在区间上单调递增，式成立若，则故，使得则当时，即函数在区间上单调递减；，即式不恒成立综上所述：实数a的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题第 19 页 共 19 页
