1、2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题一、单选题1设集合，则ABCD【答案】D【解析】解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.【详解】集合，故选：D【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.2若（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）ABCD【答案】C【解析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数【详解】，故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题3已知向量，满足，则（ ）A4B3C2D0【答案】A【解析】由向量数量积的运算法则计算【详解】故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础
2、题4已知，则的值为 ( )ABCD【答案】A【解析】根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果.【详解】由题意得： 本题正确选项：【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.5函数的图象可能是（ ）.ABCD【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ，当时，排除C.故选：D .【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或
3、是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.6在二项式的展开式中，的系数为（）A80B40C40D80【答案】A【解析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10已知2
4、019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）.ABCD【答案】C【解析】得出n年后的沙漠化土地面积y关于n的函数，从而得出答案【详解】设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，则y7（110%）n，故2025年的沙漠化土地面积为70.96故选：C【点睛】本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题8已知函数的部分图像如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【答案】A【解析】利用函数的图象求得的值，再利用左加右减的平移原则，得到向右平移个单位得的图象.【详解】因为，所以.
5、因为，所以，即，因为，所以，所以.所以，所以的图象向右平移个单位 可得的图象.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量而言的.9 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1,2,3，若|ab| 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A B C D【答案】D【解析】试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2
6、；共7种情况，甲乙出现的结果共有33=9，故出他们”心有灵犀”的概率为.【考点】主要考查了组合及古典概型的概率问题.点评：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目m表示事件A包含的试验基本结果数10若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2则双曲线C的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.【详解】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式可得解得，所以故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦
7、长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.11九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。所以，应选答案B。12定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，
8、且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.【详解】构造函数，因为，所以则，所以为偶数当时，所以在上单调递增，所以有，则，即，即.故选：【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.二、填空题13直线是曲线的一条切线，则实数 。【答案】【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。14在ABC中，若b = 1，c =，则a = 【答案】1【解析】【详解】由正弦定理可得,即,故,.再由可得,解得.故答案为 1.15圆锥的侧面展开
9、图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为_.【答案】.【解析】依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，圆锥的高圆锥的体积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题16已知圆关于直线对称，则的最小值为_【答案】.【解析】由题意可得圆心在直线上，故有，即，再利用基本不等式求得的最大值【详解】解：因为圆关于直线对称；所以圆心在直线上，故有，即；所以：；（当且仅当时等号成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题三、解答
10、题17已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列（1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意根据等差中项的性质可得，从而求出，由此能求出数列的通项公式（2）推导出，由此利用等差数列前项和公式求出数列的前项和【详解】（1）成等差数列，且数列是公比为2的等比数列，解得：，数列的通项公式为；（2），【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科
11、班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可【详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文
12、、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值为0,1,2,3，的分布列为0123.【点睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题19如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由平面平面可得面，从而可得；（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（1）依题意，面面，面，面面，面.又面，.（2）解法一：向量法在中，取中点，面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于
13、的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，.设面法向量为，则，解得.设直线与平面所成角为，则，因为，.所以直线与平面所成角的余弦值为.（2）解法二：几何法过作交于点，则为中点，过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，过作交于点，连结，连结，取中点，连结，四边形为矩形，所以面，所以，又，所以面，所以为线与面所成的角.令，则，由同一个三角形面积相等可得，为直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因为为锐角，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设
14、出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20已知函数，. （）求函数的极值；（）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（）极大值为，无极小值；（）1.【解析】()由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；()结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】()设，令，则；，则；在上单调递增，上单调递减，无极小值.()由，即在上恒成立，
15、在上恒成立，设，则，显然，设，则，故在上单调递减由，由零点定理得，使得，即且时，则，时，. 则在上单调递增，在上单调递减，又由，则由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和
16、椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.试题解析：（）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得 .因为 ，所以.设，根据根与系数的关系得，.则 .因为，即 .整理得.令，则.所以 .等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
17、曲线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.【答案】（1）:,:（2）【解析】（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；由，得，则曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入，得，设对应的参数分别为，则，.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.【详解】（1），由，解得，故不等式的解集是；（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，当时，即，因为，所以，令，易知在上单调递增，所以的最小值为，因此，即的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键.第 19 页 共 19 页
