1、2006年福建高考理科数学真题及答案第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0(2)在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.45(3)已知(,)，sin=,则tan()等于A. B.7 C. D.7 (4)已知全集U=R,且A=xx12,B=xx6x+80) B.y= (x0) D. .y= (x0)在区间,上
2、的最小值是2，则的最小值等于A. B. C.2 D.3 (10)已知双曲线(a0,bAB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.(13)(x)展开式中x的系数是 (用数字作答)(14)已知直线xy1=0与抛物线y=ax相切，则a= (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又连结的A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，
3、得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 .二、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD
4、所成角的大小；（）求点E到平面的距离.（19）（本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（20）（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.（21）（
5、本小题满分12分）已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).2006年福建高考理科数学真题参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.(1)D (2)B (3)A
6、(4)C (5)D (6)A(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.(13)10 (14)(15) (16)()三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分.解:（1）f(x)= = =sin(2x+.f(x)的最小正周期T=.由题意得2k-2x+,kZ,f(x)的单调增区间为k-,kZ.(2)方法一：先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度，得
7、到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象.方法二：把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象.(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.方法一:(1)证明：连结OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC. AB平面BCD.（）解：取AC的中点M,连结
8、OM、ME、OE，由E为BC的中点知MEAB,OEDC.直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME中，是直角AOC斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设点E到平面ACD的距离为h.,SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为.方法二：（）同方法一：（）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令y=1，得
9、n=(-)是平面ACD的一个法向量.又点E到平面ACD的距离h=(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(),h(x)=(0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=
10、11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合能力.满分12分.解(1) a2=2,b2=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2.圆过点O、F.圆心M在直线x=-设M(-),则圆半径r=|(-)-(-2)|=.由|OM|=r,得解得t=,所求圆的方程为(x+)2+(y) 2=.(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k
11、2-2=0.直线AB过椭圆的左焦点F, 方程有两个不等实根.记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x1=-x0=AB垂直平分线NG的方程为令y=0，得点G横坐标的取值范围为（）。（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 解：（I）f(x)=x2+8x=(x4)2+16, 当t+14，即t4时，f(x)在t，t+1上单调递减，h(t)=f(x)=t2+8t .t4综上，h(t)= （II）函数y=f(x)的图象
12、与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。j(x)=x28x+16ln x+m,j(x)=2x8+ 当x(0,1)时，j(x)0，j(x)是增函数；当x(1,3)时，j(x)0，j(x)是增函数；当x=1，或x=3时， j(x)=0；j(x)极大值=j(1)=m7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 315.当x充分接近0时，j(x)0.要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 既7m6ln 3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，
13、156ln 3）.（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：an+1=2 an+1（nN）,an+1+1=2(an+1),| an+1| 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。an+1=2n，既an=2n1(nN)。（II）证法一：4b114 b224 bn1=(a+1)bn，4k1+k2+kn=2nk,2(b1+b2+bn)-n=nb, 2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1 -,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. -，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,即 bn+2-2bn+1+b=0,bn-2-bn+1=bn(nN*),bn是等差数列.证法二：同证法一，得(n-1)bn+1=nbn+2=0令n=1，得b1=2.设b2=2+d(dR),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d.(1)当n=1,得b1=2.(2)假设当n=k(k2)时，b1=2+(k-1)d,那么bk+1=这就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d对任何nN*都成立.bn+1-bn=d, bn是等差数列.(3)证明：(),k=1,2,n,
