1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞绝密启用前|学科网考试研究中心命制2020 年高三【名校、地市联考】精选仿真模拟卷 05数学（理）数学（理）（本试卷满分（本试卷满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟）分钟）第第 I I 卷（选择题卷（选择题)一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。目要求的。1.（2020河北高三期末（理）已知全集，集合，集合UZ15Axxx Z|或，则集合（）2,1,0,1,2B UAB A B C D5,4
2、,0,12,1,0,1,22,1,0,12,1,0【答案】C【解析】【分析】根据补集和交集的求法直接求解即可.【详解】，所以.故选：C.51UAxZx|2,1,0,1,2B 2,1,0,1UAB【点睛】本题考查补集和交集的求法，属于基础题.2（2020湖北高三月考（理）设，则 z 的虚部是（）1211iziiAB1C-1Dii【答案】B【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【分析】化简再根据虚部的定义求解即可.1211izii【详解】,其虚部为 1.故选：B21121211111iiziiiiii 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义,属于基础题.3.（2020四川石室
3、中学高三月考（理）一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为()AB(4)33(8)36CD(8)33(4)3【答案】B【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体圆锥底半径为 1，四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高均为 2，所以几何体体积为，选 B32(8)36【点睛】基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题4.（2020安徽高三月考（理）已知等差数列的前项和为，则的值等 nannS13a 47329aa7S于（）A21B1C-42D0【答案】D【解析】【分析】用等差数列的基本量法计
4、算公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【详解】设数列公差为，则，因为，所以d47111232(3)3(6)5249aaadadad13a ，故选：D1d 717 677(3)21 102Sad 【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，解题方法是基本量法，即求出首项和公差，然后直接计n1ad算5.(2020江西省新八校联考（理）)在矩形中，与相交于点，过点ABCD3,4,ABADACBDO作，垂足为，则AAEBDEAE EC ABCD572144251252512【答案】B【解析】如图：由，得：，3AB 4AD9 165BD 125AB ADAEBD又AE ECAEEOOCAE EOAE O
5、CAE EOAE AO ，AEBD0AE EO 又2144cos25AEAE AOAE AOEAOAE AOAEAO .故选 B.14425AE EC 【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.6.（2020天水市第一中学高三月考（理）定义在上的奇函数满足：当时，R()f x0 x，则函数的零点的个数是()20192019logxf xx()f x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD1235【答案】C【解析】【分析】当时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可0 x【详解】当时，结合指数
6、与对数函数的单调性可知，0 x 2019()2019logxf xx2019()2019logxf xx在上单调递增，（1），时，则在上有唯一的零点，因为(0,)f00 x()0f x()f x(0+)，奇函数的图象关于原点对称，故当时也有唯一零点，且，综上可得，程的()f x0 x(0)0f()0f x 实根个数为 3 个.故选 C【点睛】本题主要考查了函数零点个数的判断，考查了指数对数函数的图象性质，零点判定定理及奇函数性质的应用是求解的关键7（2020吉林高三期末（理）设，其中满足，若的最小值是，则的2zxy,x y2000 xyxyykz12z最大值为（）AB12CD9912【答案】B
7、【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点时，取最小值，即，可求得的值，Azmin12z k当目标函数过点时，取最大值，即可求出答案.Bz【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为，联立，可得，当目2yxz 20 xyyk2,Ak k标函数过点时，取最小值，则，解得Az2212kk 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，联立，可得，即，当目标函数过点时，取最大值，4k 0 xyyk,B k k4,4BBz.max24412z【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键.8（2020广东高三期末（理）我国古代在珠算发明之
8、前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数 19 的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，以此类推，交替使用纵横两式.例如：627 可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用 7 根小木棍的概率为（）ABCD1114172120217984【答案】D【解析】【分析】先计算至少要用 7 根木棍的对立事件的概率，用 1 减去该事件对立事件的概率即可.【详解】至少要用 7 根小木棍的对立事件为用 5 根小木棍和 6 根小木棍这两种情况，用 5 根
9、小木棍为 126这一种情况的全排列，用 6 根小木棍为 123，127，163，167 这四种情况的全排列，故至少要用 7 根小木棍的概率为.故选：D.3339579184AA【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及正难则反的求解思路；一般地，当需要讨论的情况超过三种，我们考虑用正难则反的思路进行计算.9.（2020江西高三期末（理）函数的图像如图所示，为了得到函()2sin()0,|2f xx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞数的图像，只需将函数的图像（）2cos()yx()f xA向右平移个单位B向右平移个单位36C向左平移个单位D向左平移个单位36【答案】D【解析】【分析】由函数
10、图像可看出点和点在图像上，分别代入求得和，可得函数的解析式，(0,1)5,012再利用三角函数图像变换规律和诱导公式，求得结论.【详解】根据函数的部分图像可看出：点在图像上，代入得()2sin()0,|2f xx(0,1)，得.故，又因为点也在图像上，有2sin16()2sin6f xx5,01252sin0126所以，因为，当时，解得，5,126kkZ56120,412255TT1k 2所以.将图像向左平移个单位，可得()2sin 26f xx()2sin 26f xx6，即得到函数.故选:D.sin 2sinsin 2cos2662yxxx2cos2yx【点睛】本题考查由图像求三角函数解析
11、式，以及的图像变换规律和诱导公式相结合.sin()yAx10（2020广东高三期末（理）已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直C22221xyab1F2F12FF径的圆与的一条渐近线交于点，则该双曲线的离心率为（）CP12212PFFPF F A2B3CD23公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】A【解析】【分析】以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,可得,又有12FFCP1290FPF1260PFF,则,则可得一条渐近线方程为,进而求解即可1POOF160FOP3yx【详解】由题,以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,因为12FFCP1290FPF12212PFFPF F 所以
12、,设原点为,因为为的中点,所以在中,2130PF F1260PFFOO12FF12Rt FPF,所以,所以一条渐近线方程为,即,所以12112POFFOF160FOP3yx3ba,故选:A212cbeaa11（2020哈尔滨市呼兰区第一中学校高三期末（理）已知函数，若存在 2log,02sin,2104xxf xxx实数，满足，且，则的1x2x3x4x 12f xf x 34f xf x1234xxxx 0y 114333333xyxyxyyyxx.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.44+2 32333xyyx3xy4+2 333xyyx4+2 33【点睛】本题主要考查了基底向量与向
13、量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.16.（2020山西高三月考（理）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作22(0)ypx pFlA的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，lB7,02CpAFBCE2CFAFACE3 2则的值为_.p【答案】【解析】试题分析：设点，则因为，所以由可得，再由抛A2CFAF物线的定义可得：，即，所以，所以的面积为，所以的面积为，所以，即ACE。考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出
14、必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为题为必做题必做题,每个考生都必须作答每个考生都必须作答.第第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）（一）必考题：共必考题：共 60 分分17.（本小题满分 12 分）（2020广东金山中学高三期中（理）在锐角中,角所对的边为ABCABC，若,且.,abc，coscosABcos3sin0CC1b(1)求角的值；(2)求的取值范围.Bac公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】(1)；(2).33,2【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换的公式和三角形的内角和定理，化简可得，即可求解；si
15、n3cosBB由正弦定理得，得到所以，利用三角函数的性质，22 32 3sin,sin33aA bBac2sin6A即可求解.【详解】（1）由题意，因为，coscoscos3sin0ABCC又由,则，ABCcoscos()cos()ABCBC 所以,coscos3sincosBCCBCcoscossinsinBCBC可得，因为，则，所以，sinsin3sincosBCCB(0,)Csin0C sin3cosBB即，又由为锐角，可得.tan3B B3B（2）由正弦定理，则，2 3sinsinsin3acbACB2 32 3sin,sin33aA bB所以，2 3sinsin3acAC2 32si
16、nsin33AA2sin6A因为，可得，所以，20,0,2233ACBAC,6 2A 2,633A可得，所以故的取值范围sin6A3,122sin3,26acAac3,2【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用，以及正弦定理的边角互化的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞18.（本小题满分 12 分）（2020内蒙古高三期末（理）在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组,在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上 7:3010:00 共 2.5 小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按 10
17、000 人计算,每人每天晚上 7:3010:00 期间打开“学习强国 APP”的概率均为(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率,),并且是否打开进行学习是彼此相互pp 学习时长调查总时长01p独立的.他们统计了其中 100 名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间.学习时长/min50,6060,7070,8080,9090,100频数1020402010（1）试估计的值;p（2）设表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.X求的数学期望和方差;X E X D X若随机变量满足,可认为.假设
18、当时,表示社区处于Z XE XZD X0,1Z N49505100X最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数).附:若,则,2,ZN 0.6827PZ220.9545PZ.330.9973PZ【答案】（1）（2）,(min)12 5000E X 2500D X 123【解析】【分析】（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:,即可求得答案;55 0.1 65 0.275 0.485 0.295 0.175公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）根据题意,根据,即可求得的数学期望110000,2XB E Xnp 1D XnppX
19、和方差.,当时,即可 E X D X50001100502500XZX49505100X12Z 0,1ZN求得答案.【详解】（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:(min),55 0.1 65 0.275 0.485 0.295 0.175而调查总时长为 150(min),故.7511502p（2）根据题意,.故,110000,2XB 11000050002E Xnp.11110000250022D Xnpp,当时,50001100502500XZX49505100X12Z 0,1ZN.0.95450.68271220.95450.81862PZPZ 故.495051001
20、20.8186PZPZ 估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为(min).150 0.8186123【点睛】本题考查了根据频率估计概率,求数据的期望和方差,解题关键是掌握统计学的基础知识和掌握期望,方差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19.（本小题满分 12 分）（2020广东高三期末（理）如图，在矩形中，为边ABCD22ABADE的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位CDEBCEBCP置，且使平面平面.PEB ABED公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）证明：平面；PB PEA（2）求二面角的余弦值.DPAE【答案】（1）证明见解析（2）2 2211【解析】
21、【分析】（1）由,可得,利用平面平面,可得平面2AEBE2AB AEBEPEB ABEDAE,则,由折叠知,进而得证；PEBAEPBPBPE（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向,过点分别做和的平行线,分别为BEOOPzOABAD轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,分别求得平面的法向量和平面的法向量,进xyOxyzADPAEP而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:由题意,又,所以,2AEBE2AB AEBE又平面平面,且平面平面,所以平面,PEB ABEDEBPEB ABEDAEPEB故,又,且,所以平面AEPBPBPEAEPEEPB PEA（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向
22、,过点分别做和的平行线,分别为BEOOPzOABAD轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,xyOxyz则,3 1,02 2A31,022D11,022E20,0,2P设为平面的法向量,则有111,nx y zADP则,即,00n ADn AP 111103120222yxyz公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞可取,设为平面的法向量,则有2,0,13n222,mxyzAEP则,即,可取,所以,00m AEm AP 2222203120222xyxyz1,1,2m 2 22cos,11n mn mn m 则二面角余弦值为DPAE2 2211【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面
23、角,考查运算能力20.（本小题满分 12 分）（2020四川高三期末（理）在平面直角坐标系中，且xOy(2,0)A(2,0)B满足.记点的轨迹为曲线.PAB3tantan4AB PC（1）求的方程，并说明是什么曲线；C（2）若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得MNCMN10,2DyQ？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.MQONQO Q【答案】（1），是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）；22142(2)xyx Cx（2）存在定点(0,6)Q【解析】【分析】（1）设点的坐标为，说明，把这个等式用表示出来化简后即得；P(,)x y3tantan4
24、AB 34PAPBk k,x y（2）假设存在的定点符合题意，当直线的斜率存在时，设其方程为，(0,)QmMNk1124ykxk 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，由直线方程与椭圆方程联立消去得的一元二次方程，应用韦达定理得11,M x y22,N xyyx，得，代入化简后分析所得式子与无关时121 2,xx x xMQONQO 0MQNQkk121 2,xx x xk的值，同时验证斜率不存在时，定点也满足mMNQ【详解】（1）由，得，设点的坐标为，则：3tantan4AB 34PAPBk k P(,)x y，化简得，曲线的方程为3(2)224yyxxx 221(2)43xyx C2
25、2142(2)xyx 是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）Cx（2）假设存在的定点符合题意(0,)Qm由题意知：直线的斜率分别为，,AD BD14ADk14BDk 由题意及（1）知：直线与直线均不重合，当直线的斜率存在时MN,AD BDMNk设其方程为，1124ykxk 11,M x y22,N xy由，得直线的倾斜角互补，故MQONQO,MQ NQ0MQNQkk又1212MQNQymymkkxx12121122kxmkxmxx1212124(1 2)2k xmxxx x，由消去，整理得：12124(1 2)0kx xmxx221,431.2xyykxy.22344110kxk
26、x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，又，221644 340kk 122434kxxk1221134x xk代入得：221144(12)3434kkmkk28(6)034k mk当时，又不恒为 0，当且仅当时，式成立14k k6m 当直线的斜率存在时，存在定点满足题意.MNk(0,6)Q当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.MN(0,6)Q0MQONQO 综上所述，在 轴上存在定点，使得.y(0,6)QMQONQO【点睛】本题考查求轨迹方程，由方程确定曲线，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题解题方法是设而不求的思想方法即设动点坐标，应用韦达定理求得，代入题设11,M x y22,
27、N xy121 2,xx x x条件中得出结论本题考查了学生的运算求解能力21.（本小题满分 12 分）（2020河南高三期末（理）已知函数，.ln1mxf xxxm1,0 x（1）若，判断函数的单调性并说明理由；1m f x（2）若，求证：关的不等式在上恒成立.2m x 2 1xxmf xex1,0【答案】（1）函数在上单调递减，理由见解析；（2）证明见解析.yf x1,0【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分析导数在区间上的符号，即可得出结论；yf x fx1,0（2）将所证不等式变形为，证明出，于是ln 1ln 121xxxmxxxeln 10 xx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：
28、卷洞洞将不等式转化为证明，通过证明出，将不等式转 2 ln 12xxxxe 222 ln 12x xxxx化为，然后构造函数，利用单调性证明即可.212xxex 22xxh xex【详解】（1）函数在上单调递减，理由如下：yf x1,0依题意，则.ln11xf xxx1,0 x 2211111xxxfxxxx 当时，故函数在上单调递减；1,0 x 0fx yf x1,0（2）要证，即证，2 1xxmf xexln121xxmxmxxe即证.设，ln 1ln 121xxxmxxxe ln 1g xxx则.当时，所以在上单调递增，1111xgxxx 1,0 x 0gx yg x1,0所以，即.00
29、g xgln 10 xx故当时，2m ln 1ln 1ln 12 ln 1xxmxxxxxx故即证.令，.2 ln 12xxxxe 2 ln 12p xxxx1,0 x 由（1）可知，2ln 12ln 1011xxpxxxxx故在上单调递增.2 ln 12p xxxx1,0所以，当时，即，1,0 x 2 ln 1200 xxxp2ln 102xxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以，当时，1,0 x 222 ln 12x xxxx所以只需证明，即证明.设，则.22xxex 212xxex 22xxh xex 2202xx eh xx所以在上单调递增，所以，所以原不等式成立.yh x
30、1,0 01h xh【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也考查了利用导数证明函数不等式，本题的难点在于利用分析法，通过构造函数逐步找到不等式成立的充分条件，对逻辑性思维要求较高，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分.22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程（2020重庆一中高三月考（理）在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),C2(3xcosysin以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立
31、极坐标系,直线 过极坐标系内的两点和.xl2,4A3,2B(1)写出曲线的普通方程,并求直线 的斜率;Cl(2)设直线 与曲线交于两点,求.lC,P QBPBQ【答案】（1），；（2）22143xy212019【解析】分析：利用消参法将参数方程转化成普通方程,再利用斜率公式求出斜率;写出直线 的参数方程,代入,得,然后根据直线参数方程的几何意义解答.l22143xy2194824055tt公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞试题解析：(1)由题意得曲线的普通方程为,直线 的斜率为.C22143xy 1,1,0,3ABl2(2)易知直线 的参数方程为为参数)，代入,得,l15(235xtt
32、yt 22143xy2194824055tt设方程的两个根为,所以.2194824055tt12,t t1 212019BPBQt t点睛：本题主要是考查普通方程与参数方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线参数方程的几何意义.23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲（2020辽宁高三期末（理）已知，.0a 0b（1）证明：；（2）若，求的最小值.3322aba bab2ab33ab【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）对不等式作差,分解因式,判断作差的结果有符号,可得证.（2）对所求的代数式分解因式得,再根据基本3322ababaabb223abab86ab不等式可
33、求得最小值.【详解】（1）.332222aba babaabbba22abab 2abab因为，所以，而，0a 0b 0ab20ab所以.于是.20abab3322aba bab（2）因为，所以.2ab3322ababaabb222 aabb223abab86ab公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞因为，当且仅当等号成立，所以.212abab1ab862ab故当时，取最小值 2.1ab33ab【点睛】本题主要是考查了不等式的证明和运用基本不等式求最值,在证明不等式时,可以运用综合法也可以运用分析法，。一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明,属于中档题.公众号：卷洞洞
