1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（四）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则复数在复平面上所对应的点位于（）11ziii zA实轴
2、上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限【答案】B【解析】由，则，所以复数在复平面上所对应的点位于虚轴上，11ziii(1)(1)22iiziiiz故选 B2已知集合，集合，则集合中元素的个数为（）1,2,3A,Bz zxy xA yABA4B5C6D7【答案】B【解析】，.当时，1,2,3A,Bz zxy xA yA1,2,3x1,2,3y 1x 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞;当时，；当时，.即，即0,1,2xy 2x 1,0,1xy3x 2,1,0 xy2,1,0,1,2xy 共有个元素.故选 B.2,1,0,1,2B 53已知命题：，则；命题：，则下列判断正确的是（）pab22
3、abqxR 210 xx A是假命题B是假命题C是假命题D是真命题pqpqpq【答案】D【解析】命题：，不一定成立，所以命题为假命题；命题：，pab22abpqxR，所以命题为真命题；因此是真命题，是真命题，是22131()024xxx qppqpq真命题.故选 D.4下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（）lgyx1,0ABlg 1yxlg 2yxCD0.1log1yx0.1log2yx【答案】D【解析】设为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点关于点的对称点,M x yM1.0必在函数的图象上，所以,即,故选 D.2,Nxyylgx2ylgx0.1log22ylgxx 5已知数列中
4、，且，则的值为（）na11a 22a 21nnnaaanN2019aABCD211214【答案】A【解析】因为，由，得；由，得；由*21nnnaaanN11a 22a 32a 22a 32a 41a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，得；由，得；由，得；由，32a 41a 512a 41a 512a 612a 512a 612a 71a 612a，得,由此推理可得数列是一个周期为 6 的周期数列，所以，故选 A.71a 82a na201932aa6函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位()cos()(0,0,|)f xAxA12长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）g
5、x g xAB()2sin2 g xx7()2cos 212g xxCD()2sin2g xx5()2cos 26g xx【答案】C【解析】由图像可知,且周期为,故,故.2A23622()2cos(2)f xx又可得,又,故.故.所以的()23f22,3kkZ|23 2()2cos(2)3f xx g x解析式为.故选 C.22cos 22cos 22sin21232xxx7执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（）0,4s,tm nnm公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】由程序框图有，当 时，所以；当时，由23,14,1=t
6、tt ttS1t 30,4St01t 1t 有，综上有，所以 的最大值为.故选 D.240,4Stt14t 04t nm48已知双曲线 C：（，）的右焦点为，点 A、B 分别在直线和22221xyab0a 0b,0F c2axc 双曲线 C 的右支上，若四边形（其中 O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则()OABF3 15a ABC2D356【答案】A【解析】如图：公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设点，因为，则，又，则2,aAtc0t OFABc2,aBc tcOBAF，化简得，,221ttaacccc 2222(1)atbc222,1aaBc bcc，又，由得2222222(1)1
7、aacbccab2213 15122ac bc 222cab.故选 A.3,3,2 3abc92019 年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与,A B C服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（）A B C D112181614【答案】C【解析】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有,总的安排方式的种类有336mA,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为.故选 C.234336nA1P6mn10已知三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥DABC1284,4 2ABBCAC体积的最大值为（）DABCABCD2732108 63
8、166332 216 63【答案】D【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设外接球的球心为，半径为，则，故.设球心在底面上的投影为，因为OR24128R4 2R OE，故为的外心.因为，所以，故OAOCOBEABC4ABBC4 2AC 222ACABBC为直角三角形，故为的中点，所以，设到底面的距离为ABCEAC222 6OEOAAEDABC，则，所以三棱锥的体积的最大值为h2 64 2hOERDABC.故选 D.1132 216 64 42 64 2323 11定义在上的偶函数满足，且当时，函数是定R()f x(1)(1)f xf x 1,0 x 2()f xx()g x义在上的
9、奇函数，当时，则函数的零点的的个数是（）R0 x()lgg xx()()()h xf xg xA9B10C11D12【答案】C【解析】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由11f xf x yf x2 yf x，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数 0h x f xg x yf x yg x与函数的图象如下图所示，yf x yg x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由图象可知，当时，则函数与函数在 01f x10 x lg1g xx yf x yg x上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有 11 个交点，故选 C.10,yf x yg x12已知直线 不过坐标
10、原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，lO22:143xyC,A BOAB3则的值是（）22OAOBABCD不能确定473【答案】B【解析】由题直线斜率 k 不存在时，设直线 x=t0，则 A(t,),B(t,),S=2334t2334t,解 t=则,k 存在时，设，与椭圆23t 334t2,227OAOB1122,A x yB xyykxm,联立得22:143xyC,222222121222438348430,48 43,3434mkmkxkmxmkmxxx xkk ，点 O 到直线 l 的距离 d=22224 3 43134kmABkk 2,1mk得，222222224314 3 431
11、2 33234341AOBmmkmkmSkkkk，22342km即,又22234mk222211221,1,4343xyxy=222222222121212221186182462664434k mmkOAOBxxxxx xk 将代入得,故选 B.2222486182464mk mmk227OAOB公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设函数，则的值为_ 22,03,0 xxxf xf xx 5f【答案】12【解析】函数，f（5）f（2）f（1）（1）221 2xx2x0f xf x3x0，12故答案为1214已知平面向量满足，
12、则与的夹角为_ab，(1,1)a|1b 22abab【答案】34【解析】因为,则,因为,等式两边同时平方可得(1,1)a 2a|2|2ab,代入,可得,设夹角为,则由平面向量数量积的定义可22442aa bb 2a|1b 1a b ,a b 得,因为,所以,故答案为.1222 1cosa bab 0343415设满足约束条件且的最小值为 7，则_xy、,1xyaxy zxaya【答案】3【解析】根据约束条件画出可行域如下：由，可得出交点，=1xy axy1122，aaA由可得，当时显然不满足题意；zxay11 yxzaa0a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当即时，由可行域可知当直线
13、经过可行域中的点 A 时，截距最小，即 z1a 110a 11 yxzaa有最小值，即，解得或（舍）；11+722aaa3a 5当即时，由可行域可知的截距没有最小值，即 z 没有最小值；01a11 a11 yxzaa当即时，根据可行域可知的截距没有最大值，即 z 没有最小值.0a 10a11 yxzaa综上可知满足条件时.故答案为：3.3a 16在各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，则数列的前项和为na318aa4a2nnan_【答案】(84)34nnSn【解析】等比数列中，所以，令，则 na318aa1281aq3341281qaa qq 3281qf qq，令，解得，因为各项均为正数的
14、等比数列，22342283811qqqfqqq 0fq 3q na所以，当时，当时，3q 3q 0fq 3q 0fq 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以在时取得最小值，设，代入化简可得，3q 34281qaf qq2nnbna3q 1163nnbn所以，12321nnnnSbbbbbb，01232116 1 32 33 323133nnnnSnnn ，12321316 1 32 33 323133nnnnSnnn 两式相减得，12321216 1 333333nnnnSn，.1 321631 3nnnSn 834 34nnnSn 8434nnSn三、解答题：本题共 6 小题，共 7
15、0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）在中，角，的对边分别为，ABCABCabc，且的面积为.sinsinsinsinABabcCB2 7a ABC6 3（1）求；A（2）求的周长.ABC【解析】（1），由正弦定理可得：sinsinsinsinABabcCB，即：，由余弦定理得.ababc cb222bcabc1cos,0,23AAA（2），所以，又，且，3A1sin6 323ABCSbc24bc222bcabc2 7a，的周长为.223100bcbca10bc ABC102 718（12 分）如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在ABOCO,A BDC
16、O的平面，垂足为，且，.C/DCEB1DCEB4AB 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）证明：平面平面；ADE ACD（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.CDAEB【解析】（1）证明：因为是半圆的直径，所.因为垂直于所在的平面，ABOBCACDCO，BCO 所以，所以平面.因为，且，所以四边形为平行四DCBCBCACD/DCEB1DCEBBCDE边形.所以，所以平面，因为平面，所以平面平面./BCDEDE ACDDE ADEADE ACD（2）由题意，、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.2 2ACBCCACBCD则，所以，(0,0,1)D(0,2 2,1)E(2
17、2,0,0)A(0,2 2,0)B(2 2,2 2,0)AB (0,0,1)BE ，.设平面的一个法向量为，(0,2 2,0)DE(2 2,0,1)DA DAE1111,nx y z则即令，则.110,0,n DEn DA 1112 20,2 20,yxz11x 1(1,0,2 2)n 设平面的一个法向量为，则即ABE2222,nxyz 220,0,nBEnAB 2220,2 22 20,zxy则，则.2(1,1,0)n 12121212cos,692n nn nn n 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.DAEBDAEB2619（12 分）已知点
18、到直线的距离比点到点的距离多.P3y P0,1A2（1）求点的轨迹方程；P（2）经过点的动直线 与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？0,2QlPMNRMRQNRQ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.R【解析】（1）由题知，点到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点、为准线的PA P1y PA1y 抛物线，所以其方程为；24xy（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.RRy0,r此时，设，则，0MRNRMRQNRQkk 11,M x y22,N xy12120yryrxx由题知直线 的斜率存在，设其方程为，与联立得，l2ykx24xy2480 xkx则
19、，124xxk128x x ，1212121222yryrkxrkxrxxxx1212222202rxxkrkkx x故，即存在满足条件的定点.2r 0,2R20（12 分）已知函数.()2ln()af xaxx aRx（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；()f xa（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.35a,m n()f xSmnS公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）的定义域为，f x0,22222aaxxafxaxxx在定义域内单调递增，即对恒成立.f x 0fx220axxa0 x 则恒成立.，.221xax2max21xax2211xx1a 所
20、以，的取值范围是.a1,（2）将表示为关于的函数，由且，得，S1x2440a 35a 315a设方程，即得两根为，且.0fx220axxa1x2x120 xx则，,1mf x 2nf x121x x122xxa11121023xxa1113x1122122ln2lnaaSmnaxxaxxxx，1111111112ln2ln22lnaaaaxxaxxaxxxxx,21120axxa代入得,12121xax222111122111114ln4ln112xxSxxxx令，则，得，则,21xt119t 11ln12tg ttt119t 4Sg t,而且上递减，从而,221021tg tt t g t1
21、,19 119gg tg公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞即,.40ln35g t1604ln35S21(12 分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第 0 站（出发地），第 1 站，第 2 站，第100 站.一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站（获胜）或跳到第 100 站（失败）时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.nnP（1）求，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；0P1P2PnnP1nP2nP299n（2）求证：数列为等比数列；1nnPP(1,2,3,1
22、00)n（3）求玩该游戏获胜的概率.【解析】（1）棋子开始在第 0 站是必然事件，；01P棋子跳到第 1 站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为；棋子跳到第 2 站，有两种情况，第一次掷硬币反面向上，其概率为；前两1,2112P12次掷硬币都是正面向上，其概率为；111,2242113244P依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：n299n第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；2n212nP第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为.1n 112nP121129922nnnPPPn公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由（1）知，121122nnnPPP11212nn
23、nnPPPP 又，数列是以为首项，为公比的等比数列.1012PP 1(1,2,100)nnPPn1212（3）由（2）知，11111222nnnnPP 9901021329998PPPPPPPPPP.2991111222 10010011212113212 玩该游戏获胜的概率为.10021132(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴xOy2221121txttyt，为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为lc
24、os3 sin4 0（1）求 C 的普通方程和 的直角坐标方程；l（2）求 C 上的点到 距离的最大值l【解析】（1）由（t 为参数），因为，且，所2221121txttyt221111tt 22222222()14111ttxytt公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞以 C 的普通方程为221(1)xyx 由 cossin+40，得 xy+40即直线 l 的直角坐标方程为得 xy+40；333（2）由(1)可设 C 的参数方程为(为参数，)cos,sinxy则 P 到直线得 xy+40 的距离为：C 上的点到 的距离3l为2cos4|cos3sin4|322当时，取得最大值 6，故 C 上的点到 距离的最大值为 332cos43l23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知，为一个三角形的三边长.证明：abc（1）；3bcaabc（2）.22abcabc【解析】（1）证明:由三项基本不等式可知，不等式得证.333bcab c aabca b c（2）证明:由于,为一个三角形的三边长,则有：,即,abc22bcbcbca bca所以,同理,abacabcaabbcbacbcc相加得：,左右两边同加得：222acbcababcabc22abcabc公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以，不等式得证.22abcabc公众号：卷洞洞
