1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（八）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，集合，则图中阴影部分所示的集合是（1,2,3,4
2、,5U 1,3,5M 3,4N）ABCD13,42,3,4 4【答案】D【解析】由图可知，阴影部分表达的集合是；容易知NCMN3MN故.故选：D.4NCMN公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞2在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）21iziAAABCD1 i1i1i 1i【答案】B【解析】复数，复数的共轭复数是，就是复数所对应的点2 121111iiiziiii 1 i21izi关于实轴对称的点为 A 对应的复数,故选 B3“”是“”成立的（）ln2ln10ab1abA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，
3、得，ln2ln10ab201021abab 得，；反之，由，不一定有，如，“1ab1ab1abln2ln10ab2,1ab ”是“”成立的充分不必要条件.故选 A.ln2ln10ab1ab4已知是第二象限角，且，则的值为（）3sin()5 tan2ABCD45237247249【答案】C公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】由，得.因为是第二象限角，所以.3sin5 3sin54cos5.故选 C.34sintancos 232tan242tan291tan7116 5执行如图所示的程序框图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）n13S46aAB910a910aCD1011
4、a89a【答案】B【解析】输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环13,0nS13,12Sn25,11Sn；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，36,10Sn46,9Sn46S 故的取值范围是，故选 B.a910a6若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（1yk x243322yxxyxyk）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD,10,22,12,2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域,如下图所示243322yxxyxy直线过定点 1yk x(1,0)A 要使得直线与不等式组表示的平面区域有公共点1yk x243322yxxyxy则,.故选 B
5、.0ACkk20=20(1)ACk-=-0,2k 7 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD1213131421291415【答案】C【解析】由题意知：，设，则,在中，列勾股方程2BC 5B C ACx2ABABxRt ACB得：，解得,所以从该葭上随机取一点，则该
6、点取自水下的概率为22252xx214x,故选 C.21214P2122924xx8中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A种B种C种D种30506090【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种任意选，所以共有；若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种任意选，11
7、21020CC所以共有；所以共有种.故选 B.1131030CC203050公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞9设，则（）0.231log0.6,log20.6mnABmnmnmnmnmnmnCDmnmnmnmnmnmn【答案】B【解析】因为，0.30.32211log0.6log10,log 0.6log 1022mn所以，因为，而0,0mnmn0.60.60.6112log2log0.250,log0.30nm，所以，即可得，因为，所0.60.6log0.25log0.3110nm0nm()()20mnmnn 以，所以，故选 B.mnmnmnmnmn10已知(1,2)P是函数()s
8、in()(0,0)f xAxA图象的一个最高点，,B C是与P相邻的两个最低点.设BPC，若3tan24，则()f x的图象对称中心可以是（）A(0,0)B(1,0)C3,02D5,02【答案】D【解析】结合题意,绘图公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞132tan244BC，6BC，所以周期26Tw，解得3w，所以sin1,223236kk，令 k=0，得到6,所以2sin36yx，令,36xmmZ,得对称中心13,02m，令 m=1,得到对称中心坐标为5,02，故选 D11已知锐角的角，的对边分别为，且，三角形的面积，ABCABCabc1c ABC1ABCS则的取值范围为（）22ab
9、ABCD17,2(9,)17,9217,92【答案】D【解析】设边上的高为，ABCDh公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则，则.以为直径作圆，显然在圆外，故为锐角，又、为锐角，设1112h 2h ABCACBAB，因为已证为锐角，所以的取值因，为锐角限定，所以，所以ADxACBxAB01x，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两2222414abxx2229xx12x 01x端是最大值（不能取得），可得的取值范围为.故选 D.22ab17,9212已知函数，曲线上总存在两点使 1ln,0,kef xxx kkx yf x1122,M x yN xy曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围
10、是（）yf x,M N12xxABCD2,e24,e2,e24,e【答案】D【解析】函数，可得,1ln,0,kef xxx kkx 2111kefxkxx曲线在两点处的切线互相平行，yf x1122,M x yN xy所以,即,12fxfx221122111111kkeekxxkxx 2212121111kekxxxx，（，故等号取不到）12121212112kxxekxxx xx x12xx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞即恒成立，设，122kkx xe 2kkg ke 22kkg ke当时，单调递增；当时，单调递减；1k 0g k g k1k 0g k g k所以时，取最大值，为
11、，所以，即，故选 D 项.1k g k 21ge122x xe1224x xe二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出（单位：万元）与年销售额m（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示.t年广告支出/万元m24568年销售额/万元t3040p5070经测算，年广告支出与年销售额 满足线性回归方程，则的值为_mt6.517.5tmp【答案】60【解析】由题意可得，2456855m 3040507019055ppt又回归直线必过样本中心，所以，解得.故答案为 606.517 5.tm1906.5 5 17.55p
12、 60p 14若非零向量满足，则_,a b2aababb【答案】1【解析】因为非零向量满足，所以，即，所以,a b2aab20a ab220aa b公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，因此.故答案为 1.22a ba 2221aa bbabbbbb15设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，分别为双12,F F5e 2222:10,0 xyCabab12,A A曲线的左、右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线 于两点，若四边形的面积为C12,F Fl,M N21MA NA，则_4b【答案】2【解析】由题,故渐近线方程为 以为直径的圆的方程为，e5,2cbaay2x,12,F F222xyc联
13、立，得 y=,由双曲线与圆的对称性知四边形为平行四边形，不妨设2222xycyx25c21MA NA则四边形的面积 S=得 ac=,又，得 a=1,c=，故答案2,5Mcy21MA NA22a4,5c55ca5,2b 为.216四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，SABCDABCD2SADSD若，则四棱锥的体积取值范围为_2 24SCSABCD【答案】4 3 8,33【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面SABCD;ADSA ADABADSAB SAB，过作于，则平面，故，在中，ABCDSSOABOSO ABCD14
14、33SABCDABCDVSSOSOSAB，设，则有，,又2SAABSAB2 32cosSC2 24SC，则，四棱锥的体积取值范围为112cos,2233 2sin 3,2SOSABCD.4 3 8,33三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知数列满足，且成等差数列.na*1102nnaanN234,2,a aa（1）求数列的通项公式；na（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.*11111nnnbnNaa nbnnTnT【解析】（1）由知数列是等比数列，且公比为.1102nnaa*12,nnanNa na2q 成等差数列，,.234,
15、2,a aa32411122,2 4228aaaaaa12a2nna（2）122311111111nTaaaa11111111111nnnaaaa,易知单调递减，,1111111 221nn nT123nTT 当时，.的取值范围为.n 1nT nT213nT 18（12 分）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为 0.8，引种ABCA公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞树苗、的自然成活率均为.BC(0.70.9)pp（1）任取树苗、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列
16、及；ABCXX()E X（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，()E XpBnB引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的75%树苗不能成活.求一棵种树苗最终成活的概率；B若每棵树苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种种树苗多少棵？B【解析】（1）依题意，的所有可能值为 0，1，2，3.X则；200.2 1P Xp，21210.810.21P XpCpp20.8 10.41ppp即，210.41.20.8P Xpp，21220.2
17、0.81P XpCpp220.21.611.41.6ppppp；230.8P Xp的分布列为：XX0123P20.20.40.2pp20.41.20.8pp21.41.6pp20.8p所以.22210.41.20.821.41.63 0.8E Xppppp 20.8p公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）当时，取得最大值.0.9p E X一棵树苗最终成活的概率为.B0.90.1 0.75 0.80.96记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，Yn M nn则，,0.96YB n 0.96E Yn 3005035050M nYnYYn，要使，则有.35050286E M nE Ynn 2
18、00000E M n699.3n 所以该农户至少种植 700 棵树苗，就可获利不低于 20 万元.19（12 分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，ABCEFGABC BCGF.CB2GF,BFCF（1）求证：；ABCG（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.BCCFAEBEG【解析】（1）取的中点为，连结.BCDDF由是三棱台得，平面平面，从而.ABCEFG/ABCEFG/BCFG，四边形为平行四边形，.2CBGF/CDGFCDFG/CGDF，为的中点，.BFCFDBCDFBCCGBC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞平面平面，且交线为，平面，ABC BCGFBCCG BCGF平
19、面，而平面，.CG ABCABABCCGAB（2）连结.由是正三角形，且为中点，则.ADABCDADBC由（）知，平面，两两垂直.CG ABC/CGDFDFADDFBCDBDFDA以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.DBDFDAxyzDxyz设，则，2BC 0 03A,13,3,22E1,0,0B1,3,0G，.13,3,22AE 2,3,0BG 33,3,22BE 设平面的一个法向量为.由可得，.BEG,nx y z00BG nBE n 230333022xyxyz令，则，.3x 2y 1z 3,2,1n 设与平面所成角为，则.AEBEG6sincos,4AE nAE nAEn 公
20、众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞20（12 分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为2222:1(0)xyCabab63(1,0)M半径的圆与直线相切.210 xy（1）求椭圆的标准方程；C（2）已知点和平面内一点，过点任作直线 与椭圆相交于，两点，设(3,2)N(,)(3)P m n m MlCAB直线，的斜率分别为，试求，满足的关系式.ANNPBN1k2k3k1323kkkmn【解析】（1）因为圆与直线相切，2221xyb210 xy 所以圆心到直线的距离，1,0210 xy 1 0212db即所以，又由题意得1b 221ac 63cea所以，所以椭圆的标准方程为2232
21、acC2213xy（2）当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，1x 由，解得 或，22113xxy163xy163xy 不妨设，所以，61,3A61,3B1366223323 13 1kk又，所以，所以，1322kkk21k 2213nkm整理得所以满足的关系式为.10mn,m n10mn 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当直线的斜率存在时，设直线，:1l yk x由消去并整理得，22113yk xxyy2222316330kxk xk设点，则有，1122,A x yB xy22121222633,3131kkxxx xkk所以 122112131212213213223333k x
22、xk xxyykkxxxx.1212121224261239kx xkxxkx xxx222 1262126kk所以，所以，整理得21k 2213nkm10mn 综上可得满足的关系式为,m n10mn 21（12 分）设，其中.()xf xaea2()g xaxx0a（1）证明：；()()f xg x（2）设函数，若在上单调递增，求的值.()()()2F xf xg xax()F xRa【解析】（1）令，所以，2xh xf xg xaexaxa 2xh xaexa所以在上单调递增，且 2xh xaexaR 002 00haea 易知当时，当时，,0 x 0h x0,x 0h x所以的最小值为，
23、所以成立.h x 00h f xg x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由题意得.则.22xF xf xg xaxaexaxa 2xFxaexa易知当或时，均有.x x Fx 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.F xR 0FxR的导函数，令，得，Fx 2xFxae 0Fx2xlna当时，递减；当时，递增.2xlna 0Fx Fx2xlna 0Fx Fx则的最小值为.所以.Fx2F lna22220Flnlnaaa令，2222222alnalnaalna则，则在上递增，在上递减，21aa a0,22,所以，当且仅当时取等号.所以.20a2a 2a(二)、选考题：共 10 分请考
24、生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴xOy1C22xptyp tt0p x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.2C4sin（1）求的普通方程和极坐标方程；1C（2）若与相交于、两点，且，求的值.1C2CAB2 3AB p公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）由曲线的参数方程为可得，1C22xptyp t224ytp再将其带入中，即可得到曲线的普通方程为，2xpt1C220ypx y将代入，sincosyx、22ypx即可
25、得到曲线的极坐标方程为。1C2sin2 cos(0)2p（2）由题意可知，显然与有一个公共点为原点，1C2C不妨设点为原点，由可设点的极坐标为.A2 3AB B2 3,(0)2代入的极坐标方程得，即，又，所以，2C2 34sin3sin2023再把代入的极坐标方程得，解得.2 3,31C312 3242p3 32p 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数，.()|21|3|f xxx()|1|g xaa x（1）求函数的值域；()f xM（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.()g xNMN a【解析】（1）函数可化简为()f x32,31()4,32132,2xxf xxxxx 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞可得当时，.当时，.3x ()327f xx 132x 7()4,72f xx 当时，.故的值域.12x 7()322f xx()f x7,2M（2）当时，所以不符合题意.0a()1g x 1N MN 0a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x(,|1|Na 若，则，解得或，从而符合题意.MN 7|1|2a52a 92a 92a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x|1|,)Na此时一定满足，从而符合题意.MN 0a 综上，实数的取值范围为.a9(,0),2公众号：卷洞洞
