1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（二）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设（为虚数单位），则()1 i2i1 izi|z ABCD01
2、212【答案】C【解析】，则，故选 C.1 i1 i1 i2i2i1 i1 i1 izi2ii 1z 2若集合，那么=（）21|My yx|1Nx yxMNABCD0,0,1,1,【答案】D公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】先求出集合,然后画数轴得=,故选 D.0,M 1,N MN1,3已知等比数列na的公比为正数，且25932aaa，则公比（）qA21 B22 C2 D2【答案】C【解析】，因为，所以，故选 C.2239652a aaa226252aqa0q2q4七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全
3、等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（）A750B500C375D250【答案】C【解析】因为，故阴影部分的面积与梯形的面积相等，BICGOH EFOH,所以落在阴影部分的概率 ，故选 C.331444EFOHDOFBDFASSS33,200037516 16EFOHBDFASPS5若满足，则(),a b c223,log 5,32acbABCDbacbcaabccba公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】A【解析】因为，则，故，故.又，故.综上，2
4、log 5b 25b222ba1ba323c1c，故选 A.bac6已知函数的值域为，函数，则的()sin3(0,)f xaxab ax R 5,3()cosg xbax()g x图象的对称中心为（）AB,5()4kkZ,5()48kkZCD,4()5kkZ,4()510kkZ【答案】B【解析】因为，又依题意知的值域为，所以 得，(),2f xbab()f x 5,323ab4a，所以，令，得，则的图象的5b ()5cos4g xx 4()2xkkZ()48kxkZ()g x对称中心为.故选 B.,5()48kkZ7已知实数满足，若的最大值为，最小值为，则实数的取,x y3060 xxyxyz
5、axy39a33aa值范围是（）ABCD2,11,11,32,3【答案】B【解析】作出实数满足的可行域如图所示：,x y公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞可求得交点坐标 M(3，9)，N(-3，3)，P(3，-3)，当目标函数经过 M 点时，当目标函数经过 N39za点时，当目标函数经过 P 点时，则由题意可得联立解得33za 33za39333333aaaa.故选 B.11a 8一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，1r2r如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图 2 放置容器时，液面以上空余部分的高为，则1h2h（）12hhA
6、BCD21rr212rr321rr21rr【答案】B【解析】在图 1 中，液面以上空余部分的体积为；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为.因211r h222r h为，所以.故选 B.221122r hr h21221hrhr公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞9过双曲线的右焦点作双曲线的一条弦 AB，且=0 0，若以为直2222:1(0,0)xyCababFCFAFB AB径的圆经过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率为（）CCABC2D235【答案】C【解析】因为=0 0，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线CFAFB 的左顶点，所以，即，则，故.故选
7、 C.2baca22caacacaa2cea10已知定义在 R 上的函数满足且在上是增函数，不等式 f x11f xfx1,对任意恒成立，则实数的取值范围是()21f axf x1,12xaABCD3,12,05,12,1【答案】B【解析】由可知函数的对称轴为 x=1.因为在上是增函数,所以11f xfx f x f x 5,5在上是减函数,因为,所以,又因为不等式对 f x 5,51,12x1102x 21f axf x任意恒成立,所以,当 a=0 时,不等式显然成立；当时,1,12x21f axf x0a,根据题意可得,故不满足题意；当时,12222axa 220f axff0a,则且,所
8、以.综上，可得实数的取值范围是12222aaxa02a1222a20a a.20a 11在三棱锥中，平面，是边上的一PABCPA ABC23BAC3AP 2 3AB QBC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）PQABC3PABCABCD45576384【答案】B【解析】三棱锥 设直线 与平面所成角为，如图所示；则PABCPAABC中，平面，PQABC 由题意知的最大值是，解得 3sinPAPQPQ，3332PQ，2 3PQ，即的最小值为的最小值是，即点到的距离为，PQ2 3，AQ3ABC3AQBC，取的外接圆圆心为，作，解
9、得2 3ABBC，6BC；ABCOOOPA62sin120r，；为的中点，2 3r 2 3O A，MPA32 32OMO APM，由勾股定理得 三棱锥的外接球的表面积是223572 3()24CPR，PABC 故选 B.225744()574SR12若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（）1(2)lnxf xa xexx(0,2)aABCD21(,)4e 1(,)e 2111(,)(,)4eee 211(,)(1,)4ee【答案】D公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】由题意可知有两个不等根.即,有一211()(1)0 xfxaexxx21(1)xxaexx(0,2)x根.另一
10、根在方程,中,令,所以1x 21xx ea(0,2)x2()xh xx e(0,2)x2()(2)0 xh xexx在且上单调递增.所以即.所以 ()h x(0,2)x1x 1(1),hea2()(0,)(,4)h xeee13aea.故选 D.211,1,e4e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知等差数列中，若前 5 项的和，则其公差为_.na4610aa55S【答案】2【解析】，公差为4655102105aaaa155335()551,2aaSaa535 12.22aa14根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾 3
11、 股4 弦 5”的问题.现有满足“勾 3 股 4 弦 5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含ABC4AB DBC端点），且满足勾股定理，则_.ABDCBCAAD 【答案】14425【解析】由等面积法可得，依题意可得，所以341255ADADBC.故答案为.214425CBCAADAB ADAD 1442515若的展开式中的系数为 8，则_4()(2)axy xy23x ya 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】1【解析】的展开式中含的项为，4()(2)axy xy23x y332222344(2)()(2)(3224)ax C xyyC xyax y 根据题意可得，解得32248
12、a1a 16过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点C24xyPPAPBABA到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是_.B【答案】4【解析】设，则直线，的方程分别为，联立11,A x y22,B xyPAPB21124xxyx22224xxyx解得，.又直线，的方程分别可表示为，将122Pxxx124PxxyPAPB112xyxy222xyxy点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即，P1122,2,2PPPPxxyyxxyyAB12Px xy 12Px xy所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为AB1212211222PPxxyyxx.故答案为 4.2121244 4
13、24Pxxxxx 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(12 分）在中，内角的对边分别是，且满足ABCABC，abc，tantan2AaCba（1）求角；C（2）设为边的中点，的面积为，求边的最小值DABABC3 3CD【解析】（1）由正弦定理：，又，sin22sinsinaAbaBAtansincostancossinAACCAC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由题，所以.因为，所以tantan2AaCbasincoscossinACACsin2sinsinABAsin0A,cos(2sinsin)cossinCBAAC即,即,cos
14、sincossin2sincosCAACBCsinsin()2sincosBACBC因为，所以，则.sin0B 1cos2C 3C（2）由，即，所以.1sin2ABCSabC133 3=22ab12ab 由,所以1()2CDCACB 2221(2)4CDCACBCA CB 222211(2cos)()44baabCbaab当且仅当时取等,所以边的最小值为.1(2)94abababCD318(12 分）某省新课改后某校为预测 2020 届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取 50 人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1
15、）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.若从甲市随机抽取 10 名高三学生，求恰有 8 名学生达到本科线的概率（结果精确到 0.01）；已知该省乙市 2020 届高考考生人数为 3.6 万，假设该市每个考生本科上线率均为，若(01)pp公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.40.360.016840.160.0007【解析】（1）估计本科上线率为.4678560%50（2）记“恰有
16、 8 名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为 0.6，则.882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P ACC甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，(40000,0.6)XB.(36000,)YBp因为 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以，即，EYEX36000400000.6p 解得，又，故p的取值范围为.23p 01p2,1319(12 分）如图，等腰梯形中，为中点，以ABCD/ABCD1ADABBC2CD ECD为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.AEADED
17、PPABCE（1）证明：；AEPB（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.PBABCE4APEC【解析】（1）证明：在等腰梯形中，连接，交于点,ABCDBDAEO公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞,四边形为平行四边形,为等边三角/,ABCE ABCEQABCEAEBCADDEADE形,在等腰梯形中，,ABCD3CADE BDBCBDAE翻折后可得：.,OPAE OBAE又平面，平面，,平面.OP POBOB POBOPOBOAEPOB平面,.PB POBAEPB（2）解：在平面 POB 内作 PQOB,垂足为 Q，因为 AE平面 POB，AEPQ，因为 OB平面 ABCE,AE
18、平面 ABCE,AEOB=O,PQ平面 ABCE，直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，4PBQ又因为 OP=OB，OPOB，O、Q 两点重合，即 OP平面 ABCE，以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,3131313(0,0,),(,0,0),(0,0),(,0,),(,0)2222222PECPEEC 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设平面 PCE 的一个法向量为，则1(,)nx y z11130022,013022xzPE nEC nxy 设，则 y=-1,z=1，由题意得平面 PAE 的一个法向量，3
19、x 1(3,-1,1)n 2(0,1,0)n 设二面角 A-EP-C 为，.1212|15|cos|=5|5n nnn 易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以.5cos=-520(12 分）过椭圆的左顶点作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为，与22221(0)xyababAB轴的交点为，已知.yC613ABBC （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定ykxmP4x Qx点，使得，求椭圆的方程.(1,0)MPMQM【解析】（1）,设直线方程为,A(,0)a2()yxa11(,)B x y公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞令,则
20、,，0 x 2ya(0,2)Ca1111(,),(,2)ABxa yBCxay 613ABBC =,整理得,1xa11166(),(2)1313xyay111312,1919xa ya 点在椭圆上,即,.B22221312()()11919ab223,4ba=2223,4aca2314e12e（2）可设,椭圆的方程为,223,4ba=223.4bt at2234120 xyt由得,动直线与椭圆有且只有一个2234120 xytykxm222(34)84120kxkmxmtykxm公共点 P,即,整理得,0 2222644(34)(412)0k mmmt2234mtk t设则有,P11(,)x
21、y122842(34)34kmkmxkk 112334mykxmk,又,若轴上存在一定点，使得,2243(,)3434kmmPkk(1,0)MQ(4,4)kmx(1,0)MPMQM恒成立,整理得,2243(1,)(3,(4)03434kmmkmkk 2234km恒成立,故,所求椭圆方程为.223434ktk t1t 22143xy21(12 分）函数.22()22ln4f xxxxxx（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；()f xxee（2）设，若，满足，求证：32()33()g xxxxf x1212,(0,)x xxx且 128g xg x.121x x 公众号：卷洞洞公众号：卷洞
22、洞公众号：卷洞洞【解析】（1），则，2()f ee 41 ln,fxxx()4(1)fee故在处的切线方程为即；f xxe241eeyxe241340eyeex（2）证明：由题可得，23141 lngxxxx 10g当时，则；当时，则，01x10,ln0 xx 0gx1x 10,ln0 xx 0gx所以，当时，在上是增函数.0 x 0gx g x0,设，101G xg xgxx则，22431111311411lnGxgxgxxxxxxx当时，则，在上递减.01x10,ln0 xx 431110,10,xx 0Gx G x0,1不妨设，由于在上是增函数，则，120 xx g x0,12g xg
23、x又，则，于是，128g xg x 14g 121g xgg x1201xx 由，在上递减，101x G x0,1则，所以，则，11218G xGg 1118g xgx 12118gg xg xx又，在上是增函数，所以，即.2111,1xx g x0,211xx121x x(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极xOy1C510cos()10sinxy为参数O点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方
24、程为x2C4cos（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；1C2C（2）若直线 的极坐标方程为，直线 与轴的交点为，与曲线相交于两lsin()2 24lyM1C,A B点，求的值MAMB【解析】（1）曲线的普通方程为：,曲线的普通方程为：，即1C22(5)10 xy2C224xyx,由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为22(2)4xy3(102,102)d，即.所以直线的极坐标方程为.6215x52x 5cos2（2）直线 的直角坐标方程：，则与轴的交点为l4xyy(0,4)M直线 的参数方程为，带入曲线得.设两点的参l22242xtyt 1C22(5)10 xy29
25、2310tt,A B数为，,所以，所以，同号.所以.1t2t129 2tt 1 231t t 1t2t12129 2MAMBtttt23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数,.21f xxaxaR（1）当时,求的解集;1a 2f x（2）若的解集包含集合,求实数的取值范围.21fxx1,12a公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）当时,1a 21121f xxaxxx 当,即,上述不等式可化为,或,或 2f x 1212xx 1211 22xxx 1121212xxx,或或,原不等式的解集为.11212xxx 102x 112x413x403xx（2）的解集包含,当时,不等式恒成立,即在 21f xx1,121,12x 21fxx上恒成立,即,2121xaxx1,12x2121xaxx 2xa22xa 在上恒成立,22xax 1,12x,的取值范围为.maxmin22xax512a a51,2公众号：卷洞洞
