1、 常州市常州市教育学会学业水平监测教育学会学业水平监测 高三数学高三数学理科理科 2020.1 一、一、填空题：填空题：1.已知集合21,0,1,|0ABx x，则AB 2.若复数z满足1,z ii 则z的实部为 3.右图是一个算法的流程图，则输出的S的值是 4.函数21xy 的定义域是 5.已知一组数据 17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 6.某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 7.已知函数231,0,1(),0,xxf xxx 则(8)f f 8.函数3sin(2),0,3
2、yxx取得最大值时自变量x的值为 9.等比数列 na中，若12341,4,2,aaa a成等差数列，则17a a 10.已知cos22cos，则tan2 11.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为 A,过 A 做x轴的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B,若2OBa，则 C 的离心率为 12.已知函数()lg(2),f xx互不相等的实数,a b满足()()f af b，则4ab的最小值为 13.在平面直角坐标系xOy中，圆222:22210C xaxyaya 上存在点 P 到点（0,1）的距离为 2，则实数 a 的取值范围是 14.在ABC中，,3A
3、点 D 满足23ADACuuu ruuu r，且对任意,xR xACABADABuuu ruuu ruuu ruuu r恒成立，则cosABC 二、解答题：15.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，已知31,cos3aB。（1）若3A，求sinC的值；（2）若2b，求c的值.16.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，四边形ABCD是矩形，APAD，点,M N分别是线段,PD AC的中点。求证：（1）/MN平面PBC；（2）.PCAM 17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，椭圆右顶点为A，点2F在圆22
4、(2)1xy上。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）点M在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已知132AMAN uuuu ruuu r，求直线1FM的斜率。18.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得,A B C D四个点重合于图 2 中的点 P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P-EFGH 的底面边长为 x（cm）.(1)若要求包装盒侧面积 S 不小于 752cm，求x的取值范围；(2)若要求包装盒容积3()V cm最大，试问x应取何值?并求出此时
5、包装盒的容积。19.已知函数22()(2)ln1().2af xaxxxxaR（1）若曲线()yf x在1x 处的切线的斜率为 2，求函数()f x的单调区间；（2）若函数()f x在区间（1，e）上有零点，求实数 a 的取值范围。20.设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列nA，nB满足：存在正数 L,当nm时，都有nnABL，则称数列nA，nB是“(,)m L接近的”。已知无穷数列 na满足32841aa，无穷数列 nb的前 n 项和为1,1nS b，且11()1,*.2nnnnnS bbnNb b（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：对任意正整数 m,数列 na，21na 是“(,
6、1)m接近的”；（3）给定正整数 m(m5),数列1na，2nbk（其中kR）是“(,)m L接近的”，求L 的最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)。（参考数据ln20.69）附加题附加题 21-1已知点(,)a b在矩阵1324A对应的变换作用下得到点（4,6）.（1）写出矩阵 A 的逆矩阵；（2）求 a+b 的值。21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点(2 3,)6P的圆的极坐标方程。22.批量较大的一批产品中有 30的优等品，现进行重复抽样检查，共取 3 个样品，以 X 表示这 3 个 样品中的优等品的个数.（1）求取出的 3 个样品中有优等品的概率；（2）求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X).23.设集合1,2,A1110|333,0,1,2,nnnnniAt taaaa aA in LL,*.nN(1)求1A中的所有元素的和，并写出集合nA中元素的个数；（2）求证：能将集合nA(2,*)nnN分成 两 个 没 有 公 共 元 素 的 子 集12,ssBb bbL和12,*llCc ccs lNL，使 得2222221212slbbbcccLL成立.
