1、 高三数学试题第 1 页（共 4 页）南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数 学 理 试 题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟)注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 参考公式：柱体体积公式：柱体体积公式：VSh，锥体体积公式：，锥体体积公式：13VSh，其中，其中S为底面积，为底面积，h为高为高.样本数据样本数据12,nx xx的方差的方差2211()
2、niisxxn，其中，其中11niixxn.一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合(0,)A，全集UR，则 UA=2设复数2zi，其中i为虚数单位，则z z 3学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 4命题“R，cossin1”的否定是 命题.(填“真”或“假”)5运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 6已知样本yx,9,8,7的平均数是9，且110 xy，则此样本的方差是 7在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24yx上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为 0
3、0 101 SIWhile SSSIIIEndForPrint I(第 5 题图)高三数学试题第 2 页（共 4 页）8 若数列na是公差不为 0 的等差数列，1lna、2lna、5lna成等差数列，则21aa的值为 9在三棱柱111ABCABC中，点P是棱1CC上一点，记三棱柱111ABCA BC与四棱锥11PABB A的体积分别为1V与2V，则21VV 10设函数()sin()f xx（0,02）的图象与y轴交点的纵坐标为32，y轴右侧第一个最低点的横坐标为6，则的值为 11已知H是ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AHABACuuuruuu ruuu r，则cosBAC
4、的值为 .12若无穷数列cos()n()R是等差数列，则其前 10 项的和为 13已知集合(,)16Px y x xy y，集合12(,)Qx y kxbykxb，若PQ，则1221bbk的最小值为 14若对任意实数 1,(x，都有1122 axxex成立，则实数a的值为 .二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)已知ABC满足sin()2cos6BB（1）若6cos3C，3AC，求AB；（2）若0,3A，且4cos5BA，求sin A 高三数学试题第 3 页（共 4 页）16(本小
5、题满分 14 分)如图，长方体1111DCBAABCD中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱1CC上的一点（1）若1AC/平面PBD，求PCPC1的值；（2）求证：PABD1 (第 16 题图)17(本小题满分 14 分)如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶具体做法是从Oe中裁剪出两块全等的圆形铁皮Pe与Qe，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在Oe上，点P、Q在Oe的一条直径上，Pe、Qe分别与直线BC、AD相切，都与Oe内切 （1）求圆形铁皮Pe半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮Pe与Qe
6、半径的值，使得油桶的体积最大(不取近似值)(第 17 题图)高三数学试题第 4 页（共 4 页）18(本小题满分 16 分)设椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，离心率是e，动点00(,)P xy在椭圆C上运动，当2PFx轴时，01x，0ye（1）求椭圆C的方程；（2）延长12,PF PF分别交椭圆C于点,A B（,A B不重合），设11AFFPuuuruuu r，22BFF Puuu u ruuu u r，求的最小值 (第 18 题图)19(本小题满分 16 分)定义:若无穷数列 na满足1nnaa是公比为q的等比数列，则称数列 na为“M q数列”设数列 nb
7、中11b，37b （1）若24b，且数列 nb是“M q数列”，求数列 nb的通项公式；（2）设数列 nb的前n项和为nS，且1122nnbSn，请判断数列 nb是否为“M q数列”，并说明理由；（3）若数列 nb是“2M数列”，是否存在正整数,m n使得4039404020192019mnbb?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n;若不存在，请说明理由 20(本小题满分 16 分)若函数()xxf xeaemx()mR为奇函数，且0 xx时()f x有极小值0()f x（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若02()f xe 恒成立，求实数m的取值范围 y 高三数学试题第
8、 5 页（共 4 页）南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分（本部分满分本部分满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟）分钟）21选做题选做题（在 A、B、C 三个小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 4-2：矩阵与变换）已知圆C经矩阵332aM变换后得到圆22:13Cxy，求实数a的值.B（选修 4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos2 sinm被曲线4sin截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值.C(选修 4-5：不等式选讲）已知正实数,a b c满足1231abc，求23a
9、bc的最小值.高三数学试题第 6 页（共 4 页）必做题必做题（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）22（本小题满分 10 分）如图，1AA、1BB是圆柱的两条母线，11AB、AB分别经过上下底面圆的圆心1O、O，CD是下底面与AB垂直的直径，2CD.（1）若13AA，求异面直线1AC与1B D所成角的余弦值；（2）若二面角11ACDB的大小为3，求母线1AA的长.23（本小题满分 10 分）设22201221(1 2)ninnixaa xa xa xL(nN)，记0242nnSaaaaL.（1）求nS；（2）记123123(1)nnnnnnnnT
10、SCS CS CS C L，求证：3|6nTn恒成立.高三数学试题第 7 页（共 4 页）南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分.1(,0 25 323 4真 56 62 72 3 83 923 107 1133 12 10 134 1412 二、解答题：二、解答题：本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明，证明过程或
11、演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由sin()2cos6BB可知BBBcos2cos21sin23，移项可得3tanB，又),0(B，故3B，2分 又由6cos3C，),0(C可知33cos1sin2CC，4 分 故 在A B C中，由 正 弦 定 理CcBbsinsin可 得 CABACsin3sin，所 以2AB.7 分（2）由（1）知3B，所以0,3A时，)3,0(3 A，由4cos5BA即54)3cos(A可得53)3(cos1)3sin(2AA，10 分 1033453215423)3sin(3cos)3cos(3sin)3(3si
12、n(sinAAAA.14 分 16（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OP，又因为1/AC平面PBD，1AC平面1ACC 高三数学试题第 8 页（共 4 页）平面1ACC平面OPBDP，所以1/ACOP 3 分 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AOOC，所以在1ACC中，11PCAOPCOC.6 分（2）证明：连结11AC.因为1111ABCDABC D为直四棱柱，所以侧棱1C C垂直于底面ABCD，又BD平面ABCD，所以1CCBD8 分 因为底面ABCD是正方形，所以ACBD 10分 又1ACCCCI，AC 面11ACC A，1CC 面11A
13、CC A，所以BD 面11ACC A.12 分 又因为1111,PCC CCACC A面,所以11PACC A面，又因为111AACC A面，所以 A1P 面 ACC1A1,所以1BDA P 14 分 17解：（1）设Pe半径为r，则)2(4rAB，所以Pe的周长2)2(41622rBCr，4 分 解得 4162r，故Pe半径的取值范围为416,0(2.6 分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422rrABrV，8 分 设函数),2()(2xxxf416,0(2x，所以234)(xxxf，由于 344162，所以()0fx在定义域上恒成立，故()f x在定义域上单调递增，即当4162r时
14、，体积取到最大值.13 分 高三数学试题第 9 页（共 4 页）答：Pe半 径 的 取 值 范 围 为416,0(2，当4162r时，体 积 取 到 最 大值.14 分 18.解：（1）由当2PFx轴时01x，可知1c，2分 将01x，0ye代入椭圆方程得22211eab（），而1ceaa，22221baca，代入（）式得222111(1)aa a，解得22a，故21b，椭圆C的方程为2212xy.4分（2）方法一：设11(,)A x y，由11AFFPuuuruuu r得10101(1)xxyy，故10101xxyy ，代入椭圆的方程得2200(1)()12xy（），8分 又由220012x
15、y得220012xy ，代入（）式得222001(1)2(1)22xx，化简得20321 2(1)0 x ，即0(1)(31 2)0 x，显然10，03120 x，故0132x.12 分 同理可得0132ux，故200011623232943xxx，当且仅当00 x 时取等号，故的最小值为23.16分 方法二：由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合，故可设直线PA的方程为1xmy，联立22121xyxmy，消去x得22(2)210mymy（），设11(,)A x y，则1y与0y为方程（）的两个实根，由求根公式可得20,12222mmym，故01212y ym，则 高三数学试题第 10 页（
16、共 4 页）1201(2)ymy，8 分 将点00(,)P xy代入椭圆的方程得220012xy，代入直线PA的方程得001xmy，001xmy，由11AFFPuuuruuu r得10yy，故10yy 22220000111(2)()2xmyyy 2222000001111(1)232(1)2(1)2xyxxx.12分 同理可得0132ux，故200011623232943xxx，当且仅当00 x 时取等号，故的最小值为23.16分 注：（1）也可设(2cos,sin)P得132 2cos，其余同理.（2）也可由116运用基本不等式求解的最小值.19解：（1）24b，且数列 nb是“M q数列
17、”，32217414 1bbqbb，111nnnnbbbb，11nnnnbbbb，2分 故数列 nb是等差数列，公差为213bb，故通项公式为1(1)3nbn，即32nbn.4分（2）由1122nnbSn得232b，3437b，故1.方法一：由11212nnbSn得2112(1)12nnbSn，两式作差得211122nnnbbb，即21132nnbb，高三数学试题第 11 页（共 4 页）又252b，21132bb，1132nnbb对nN恒成立，6 分 则1113()44nnbb，而113044b，104nb，114314nnbb，14nb 是等比数列，8 分 1111(1)33444nnnb
18、，11344nnb，2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444nnnnnnnnbbbb，1nnbb是公比为3的等比数列，故数列 nb是“M q数列”.10分 方法二：同方法一得1132nnbb对nN恒成立，则21132nnbb，两式作差得2113()nnnnbbbb，而21302bb，10nnbb，2113nnnnbbbb，以下同方法一.10分（3）由数列 nb是“2M数列”得1121()2nnnbbbb，又32212bbbb，22721bb，23b，212bb，12nnnbb，当2n 时，112211()()()nnnnnbbbbbbbbL 12222 121nn
19、n L，当1n 时上式也成立，故21nnb，12分 假设存在正整数,m n使得4039404020192019mnbb，则40392140402019212019mn，由2140391212019mn可知2121mn，mn，又,m n为正整数，1mn，高三数学试题第 12 页（共 4 页）又212(21)2121404022121212019mm nnm nm nm nnnn，4040232019m n，1mn，21122121mnn，40391404022019212019n，2020222021n，10n，11m，故存在满足条件的正整数,m n，11m，10n.16 分 20解：（1）由函
20、数)(xf为奇函数，得0)()(xfxf在定义域上恒成立，所以 0mxaeemxaeexxxx，化简可得 0)()1(xxeea，所以1a.3分（2）法一：由（1）可得mxeexfxx)(，所以xxxxxemeemeexf1)(2，其中当2m时，由于012xxmee恒成立，即0)(xf恒成立，故不存在极小值.5分 当2m时，方程012mtt有两个不等的正根)(,2121tttt，故可知函数mxeexfxx)(在),(ln),ln,(21tt上单调递增，在)ln,(ln21tt上单调递减，即在2lnt处取到极小值，所以，m的取值范围是),2(.9分 法二：由（1）可得mxeexfxx)(，令me
21、exfxgxx)()(，则xxxxeeeexg1)(2，故当0 x时，0)(xg；当0 x时，0)(xg，5分 故)(xg在)0,(上递减，在),0(上递增，mgxg2)0()(min，若02m，则0)(xg恒成立，)(xf单调递增，无极值点；所以02)0(mg，解得2m，高三数学试题第 13 页（共 4 页）取mtln，则01)(mtg，又函数)(xg的图象在区间,0t上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t上，存在0 x为函数)(xg的零点，)(0 xf为)(xf极小值.所以，m的取值范围是),2(.9 分（3）由0 x满足meexx00，代入mxeexfxx)(，消去 m
22、可得00)1()1()(000 xxexexxf，11 分 构造函数xxexexxh)1()1()(，所以)()(xxeexxh，当0 x时，012xxxxeeee，所以当0 x时，0)(xh恒成立，故 h(x)在0，+)上为单调减函数，其中eh2)1(，13 分 则02()f xe 可转化为0()(1)h xh，故10 x，由meexx00，设xxeey，可得当0 x时，0 xxeey，xxeey在 1,0(上递增，故eem1，综上，m的取值范围是1,2(ee.16分 附加题答案 21.（A）解：设圆C上一点(,)x y，经矩阵M变换后得到圆C上一点(,)x y，所以332axxyy ，所以
23、332axyxxyy，5 分 又圆22:13Cxy，所以圆C的方程为22(3)(32)13axyxy，化简得222(9)(612)1313axaxyy，所以29136120aa，解得2a.10 分 高三数学试题第 14 页（共 4 页）21.（B）解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos2 sinm，可得直角坐标方程为20 xym，又曲线4sin，所以24 sin，其直角坐标方程为22(2)4xy，5 分 所以曲线4sin是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心(0,2)，于是02 20m ，解得4
24、m.10 分 21.（C）解：因1231abc，所以149123abc，由柯西不等式得214923(23)()(1 23)23abcabcabc，即2336abc，5 分 当且仅当1492323abcabc，即abc时取等号，解得6abc，所以当且仅当6abc时，23abc取最小值 36.10 分 22解：（1）以CD，AB，1OO所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，由2CD，13AA，所以(0,1,0)A，(0,1,0)B，(1,0,0)C，(1,0,0)D，1(0,1,3)A，1(0,1,3)B，从而1(1,1,3)AC uuu u r，1(1,1,3)B D uuuu r，所以1
25、12222221 1 1(1)(3)(3)7cos,11(1)1(3)1(1)(3)AC B D uuu u r uuuu r，所以异面直线1AC与1B D所成角的余弦值为 高三数学试题第 15 页（共 4 页）711.4 分（2）设10AAm，则1(0,1,)Am，1(0,1,)Bm，所以1(1,1,)ACm uuu u r，1(1,1,)B Dm uuuu r，(2,0,0)CD uuu r，设平面1ACD的一个法向量1111(,)nx y zu u r，所以1111111200n CDxnACxymz u u r uuu ru u r uuu u r，所以10 x，令11z，则1ym，所
26、以平面1ACD的一个法向量1(0,1)nmu u r，同理可得平面1BCD的一个法向量2(0,1)nmuu r，因为二面角11ACDB的大小为3，所以122222()1 11cos,21()1mmn nmm u u r uu r，解得3m或33m，由图形可知当二面角11ACDB的大小为3时,3m.10 分 注：用传统方法也可，请参照评分.23解：（1）令1x得01220naaaaL，令1x得12201232123333(91)2nnnnaaaaaaLL，两式相加得024232()(91)2nnaaaaL，3(9 1)4nnS.3 分（2）123123(1)nnnnnnnnTSCS CS CS
27、C L 高三数学试题第 16 页（共 4 页）1122331233 999(1)9(1)4nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC LL 00112233012339999(1)9(1)4nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCC LL 0011223339999(1)94nnnnnnnnCCCCC L 0011223(9)(9)(9)(9)4nnnnnnCCCCL 331(9)(8)44nn 7 分 要证3|6nTn，即证384n36n，只需证明138nn，即证12nn，当1,2n 时，12nn显然成立；当3n 时，1011011111121(1)nnnnnnnCCCCCnn L，即12nn，12nn对*nN恒成立.综上，3|6nTn恒成立.10 分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12nn恒成立，请参照评分.
