1、 1 页 2019-2020 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末学年湖北省部分重点中学高三（上）期末 数学试卷（理科）数学试卷（理科）题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.i2020=（）A.1 B.-1 C.i D.-i 2.已知集合 A=x|0log2x2，B=y|y=3x+2，xR，则 AB=（）A.（1，4）B.（2，4）C.（1，2）D.（1，+）3.若 a=ln2，的大小关系为（）A.bca B.bac C.abc D.cba 4.当 0 x1 时，则下列大小关系正确的是（）A.x33xlog3x B.3xx3log3 x C.lo
2、g3 xx33x D.log3 x3xx3 5.已知 cos（-）=2cos（+），且 tan（+）=，则 tan的值为（）A.-7 B.7 C.1 D.-1 6.将函数 f（x）=sin（2x+）（0）的图象向右平移 个单位长度后得到函数的图象，则函数 f（x）的一个单调减区间为（）A.B.C.D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.9 8.若数列an满足-=d（nN*，d 为常数），则称数列an为调和数列已知数列 为调和数列，且 x1+x2+x20=200，则 x
3、5+x16=（）A.10 B.20 C.30 D.40 9.设函数 f（x）=x2+2cosx，x-1，1，则不等式 f（x-1）f（2x）的解集为（）A.（-1，）B.0，）C.（D.0，10.设椭圆的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA为直径的圆与椭圆在 x轴上方部分交于 M、N两点，则的值为（）A.B.C.D.2 页 11.已知向量、满足，E、F 分别是线段 BC、CD 的中点 若，则向量与向量的夹角为（）A.B.C.D.12.已知变量 x1，x2（0，m）（m0），且 x1x2，若 x1x2恒成立，则 m 的最大值为（）A.e B.C.D.1 二、填空题（本大题共
4、 4 小题，共 20.0 分）13.已知数列an满足 a1=1，前 n项和未 sn，且 sn=2an（n2，nN*），则an的通项公式 an=_ 14.已知边长为 3的正ABC三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA与平面 ABC 所成的角为 30，则球 O的表面积为_ 15.公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现 0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 a=2sin18，若 a2+b=4，则=_ 16.如图，已知双曲线 C：-=1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若
5、PAQ=60，且=3，则双曲线的离心率为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c满足（1）求 A（2）若ABC的面积，求ABC 的周长 18.棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 99站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求 P99，P100的值 3 页 19.如图，已知
6、平面 BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线 CC1的中点，已知 AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O平面 AEO（2）求二面角 B1-AE-O 的余弦值 20.椭圆 C焦点在 y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为 2-（）求椭圆 C的标准方程；（）直线 l与椭圆 C交与 P，Q 两点，O为坐标原点，OPQ的面积 SOPQ=1，则|2+|2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由 21.已知函数 f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx-ex，其中 e 为自然对数的底数（1）x1-，0，x20，使得不等式 f（x1）m+
7、g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围；（2）若 x-1，求证：f（x）-g（x）0 22.在平面直角坐标系中，已知直线 l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程=4cos（1）求直线 l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）直线 l与曲线 C交于 A、B 两点，点 P（1，2），求|PA|+|PB|的值 4 页 23.已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-4|（1）解不等式 f（x）6；（2）若不等式 f（x）+|x-4|a2-8a 有解，求实数 a 的取值范围 5 页 答案答案 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】
8、A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】A 13.【答案】14.【答案】16 15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，且 A（0，），（2），bc=12，又 a2=b2+c2-2bcosA，9=（b+c）2-3bc，即ABC的周长为 18.【答案】解：（1）解：由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=()3=X的分布列如下：6 页 X 3 4 5 6 P （2）证明：棋子先跳到第
9、n-2 站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第 n-1 站，再掷出正面，其概率为，即，.（3）解：由（2）知数列Pn-Pn-1（n1）是首项为Pn-Pn-1(n1)，公比为的等比数列，由此得到，由于若跳到第 99站时，自动停止游戏，故 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题（1）由题意得 X的可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望（2）棋子先跳到第 n-2 站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第 n-1 站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.（3）数列Pn-Pn-
10、1（n1）是首项为Pn-Pn-1（n1），公比为的等比数列，从而，由此能求出 P99，P100的值 19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1平面 ABC，BAC=90，如图建立空间直角坐标系 A-xyz，因为 AB=AC=AA1=4，则 A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2 分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）=（-2）2+2（-2）+（-4）（-2）=0，7 页，B1OEO，=（-2）2+2 2+（-4）0=0，B1OAO，（5 分）AOEO=O，AO，EO 平面 AEO，
11、B1O平面 AEO（6 分）（2）由（1）知，平面 AEO 的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面 B1AE的法向量为=（x，y，z），则，令 x=2，则=（2，2，-2），（10 分）cos=，二面角 B1-AE-F 的余弦值为（12 分）【解析】（1）依题意可知，AA1平面 ABC，BAC=90，建立空间直角坐标系 A-xyz，利用向量法能证明 B1O平面 AEO（2）求出平面 AEO的法向量和平面 B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角 B1-AE-F 的余弦值 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20.【答案】解
12、：（）由题意可得，解得，可得 b2=a2-c2=1，即有椭圆 C的标准方程为：；（）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当 l斜率不存在时，P，Q两点关于 x 轴对称，SOPQ=|x1|y1|=1，又，解得，|2+|2=2（x12+y12）=2（+2）=5；（2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=kx+m，由题意知 m0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，8 页 即有，则，O到 PQ距离，则，解得 k2+4=2m2，满足0，则，即有|2+|2=（x12+y12）（x22+y22）=-3+8=5，综上可得|2+|2为定值 5 【解析】（）运用椭圆的离心率
13、公式和两点的距离公式，及 a，b，c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆方程；（）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线 l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值 5 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21.【答案】解：（1）f（x）=excosx-exsinx-sinx-xcosx；cosx0，sinx0，ex0；excosx-exsinx-sin
14、x-xcosx0；即 f（x）0；f（x）在上单调递增；f（x）的最大值为 f（0）=1；，设 h（x）=g（x），则：；h（x）0；h（x）在0，上单调递减；h（x）的最大值为 h（0）=；h（x）0，即 g（x）0；9 页 g（x）在0，上单调递减；g（x）的最大值为 g（0）=；根据题意知，f（x）maxm+g（x）max；实数 m 的取值范围为；（2）；设 F（x）=ex-（x+1），则 F（x）=ex-1；x（-1，0）时，F（x）0，x（0，+）时，F（x）0；F（x）在（-1，+）上的最小值为 F（0）=0；F（x）0；exx+1在 x（-1，+）上恒成立；，x=0时取“=”；=
15、；，该不等式和不等式等号不能同时取到；f（x）-g（x）0 【解析】（1）根据题意便知，f（x）maxm+g（x）max，这样可根据导数求 f（x），g（x）的最大值：求导数 f（x），容易说明 f（x）0，从而可以得出 f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为 1；同样的办法，求，可设 h（x）=g（x），再求导便可得出 h（x）0 在上恒成立，从而得出 g（x）单调递减，从而可以得出最大值为 g（0）=，从而便可得到 1，这样便可得出实数 m的取值范围；（2）先求出 f（x）-g（x）=，根据导数可以证明 exx+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cosx
16、+）-sinx（x+1）0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出 f（x）-g（x）0 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质 22.【答案】解：（1）直线 l的参数方程为（t为参数），由得，l的普通方程为：，C 的极坐标方程是=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，10 页 C 的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0（2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，得：，t1，t2同号，【解析】（1）由直线 l的参数方程，能求出 l的普通方程；由曲线 C的极坐标方程，能求
17、出曲线 C的直角坐标方程（2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值 本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等 23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式 f（x）6化为-3x+36，解得 x-1，所以取；当时，不等式 f（x）6 化为 x+56，解得 x1，所以取；当 x4 时，不等式 f（x）6 化为 3x-36，解得 x3，不合题意，舍去；综上知，不等式 f（x）6的解集为-1，1（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-x4 时取等号；由不等式 f（x）+|x-4|a2-8a 有解，则 a2-8a9，即（a-9）（a+1）0，解得 a-1或 a9；所以 a 的取值范围是（-，-1）（9，+）【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）6 的解集；（2）利用绝对值不等式求出 f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于 a 的不等式，求解集即可 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题
