1、页 1 第 丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高高三理科三理科数学数学 命题：宋润生 郭林 葛冰 杨晓东 审核：宋润生 本试卷共 22 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不
2、要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 Ax|x22x30，B x|x20，则 AB A(1，2)B(2，3)C(3，1)D(，2)2复数 z3i1i的模|z|A1 B 2 C2 D 5 3某商家统计了去年 P，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中 A 点表示 P 产品 2 月份销售额约为 20 万元，B 点表示 Q 产品 9 月份销售额约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误的是 AP 产品的销售额极差较大 BP 产
3、品销售额的中位数较大 CQ 产品的销售额平均值较大 DQ 产品的销售额波动较小 4(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 25 30 20 15 10 5 0 1月 月2月 月3月 月4月 月5月 月6月 月7月 月8月 月9月 月10月 月月 11月 月月 12月 月月 P 产品的销售额/万元 Q 产品的销售额/万元 A B 页 2 第 5设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bbca Cbac Dcba 6若 sin2cos，则 cos2sin2 A125 B95 C1 D45 7已知非零向量 a
4、，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为 A6 B3 C23 D56 8设，是两个平面，m，n 是两条直线，下列命题错误的是 A如果 m，n，那么 mn B如果，m，那么 m C如果 mn，m，n，那么 D如果 内有两条相交直线与 平行，那么 9甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以 3:1 获胜的概率为 A316 B14 C38 D12 10下列函数中，其图象与函数 ylg x 的图象关于点(1，0)对称的是 Aylg(1x)Bylg(2x)Cylog0.1(1x)Dylog0.1(2x)11关于函数 f(x)|sinx|si
5、n|x|有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间(2，0)单调递减 f(x)在，有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AB|8，则 p A12 B1 C2 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数 f(x)在 R 单调递减，且为奇函数，则满足 f(x1)f(x3)0 的 x 的取值范围为 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为a2b2c24，则 A 页 3 第
6、15设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点，若|PQ|OF|，则 C 的渐近线方程为 16已知正三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在球 O 的表面上，AB3，异面直线 AC1与 BC 所成角的余弦值为310，则 AA1 ，球 O 的表面积为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）设 Sn是数
7、列an的前 n 项和，且 a11，an1Sn Sn1（1）证明：数列1Sn是等差数列；（2）求an的通项公式 18（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品，以 X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将 T 表示为 X 的函数；（2）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；（3）在直方图的需求量分组
8、中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，例如：若 X100，110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100，110）的概率求利润 T 的数学期望 19（12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 需求量 X(t)频率组距 0.010 0.015 0.020 0.030 100 110 120 130 140 1500.025 页 4 第
9、20（12 分）已知圆 O1：x2y22x70，动圆 O2过定点 F(1，0)且与圆 O1相切，圆心 O2的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程；（2）设斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M，N 两点，交 y 轴于 D 点，y 轴交 C 于 A，B 两点，若|DM|DN|DA|DB|，求实数 的值 21（12 分）已知函数 f(x)1x1xlnx （1）讨论函数 f(x)的单调性；（2）证明：在(1，)上存在唯一的 x0，使得曲线 ylnx 在 xx0处的切线 l 也是曲线 yex的切线 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22
10、选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点 M(2，4)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos，（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且|MA|MB|40，求倾斜角 的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a0，b0（1）证明：a3b3a2bab2；（2）若 ab2，求 a3b3的最小值 页 5 第 丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学答案与评分参考高三理科数学答案与评分
11、参考 一、选择题 1A 2D 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10D 11A 12C 二、填空题 13(1，)1434 15yx 164，28 三、解答题：17解：（1）因为 an1Sn1Sn，所以 Sn1SnSn Sn1 两边同除以 SnSn1得1Sn11Sn1 因为 a11，所以1S11 因此数列1Sn是首项为1，公差为1 的等差数列【以上教育部考试中心试题分析解法】（6 分）（2）由（1）得1Sn1(n1)(1)n，Sn1n 当 n2 时，anSn1Sn1n(n1)于是 an 1，n1，1n(n1)，n2，N*（12 分）18解：【教育部考试中心试题分析解法】（1）当 X100
12、，130)时，T500X300(130X)800X39000 当 X130，150时，T500 13065000 所以 T 800X39000，100X130，65000，130X150 （4 分）（2）由（1）知 T57000 元当且仅当 120X150 由直方图知 X120，150的频率为 0.30.250.150.7，所以下一个销售季度内利润 T 不少于 57000元的概率估计值为 0.7 （8 分）（3）依题意可得 T 的分布列为 T 45000 53000 61000 65000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 页 6 第 所以 ET4500 0.153000 0.261000
13、0.365000 0.459400 （12 分）19解法 1：【教育部考试中心试题分析解法 1】（1）因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，所以 POAC，且 PO2 3 连结 OB因为 ABBC22AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB12AC2 由 OP2OB2PB2知 POOB 由 POAC，POOB 知 PO平面 ABC （4 分）（2）过 C 作平面 PAM 的垂线，垂足为 E 在平面 PAM 内过 E 作 EDPA，垂足为 D，连接 CD，则 PA平面 CDE，于是 CDPA 所以CDE 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30，所以CDE
14、30 在正三角形 PAC 中，CD2 3，所以 CECD2 3 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为3PC 34 （12 分）解法 2：【教育部考试中心试题分析解法 2】（1）同解法 1（2）在平面 ABC 内作 MDAC，垂足为 D，连接 OB 由（1）知 PO平面 ABC，故 POOB 又 ACOB，所以 OB平面 PAC，从而 MD平面 PAC 在平面 PAC 内作 DEPA，垂足为 E，连接 ME 由 DEPA，MDPA，得 MEPA 从而DEM 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30，所以DEM30，于是 DCDM33DE，DE32AD32(4DC)解得
15、 DC43，AD83从而PAM 面积为SPADcos3012832 32 3163 设点 C 到平面 PAM 距离为 d，用两种方法计算三棱锥 CPAM 的体积得 13124432 313163d，解得 d 3 P A B M C O E D P A B M C O D E 页 7 第 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为3PC 34 （12 分）解法 3：【教育部考试中心试题分析解法 3】（1）同解法 1（2）如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，
16、0，2 3)，AP(0，2，2 3)取平面 PAC 的法向量为OB(2，0，0)设 M(a，2a，0)(0a2)，则AM(a，4a，0)设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)由AP n0，AM n0 得2y2 3z0，ax(4a)y0，可取 n(3(a4)，3a，a)，所以 cosOB，n 2 3(a4)2 3(a4)23 a 2a 2 由已知得|cosOB，n|32，所以2 3(a4)2 3(a4)23 a 2a 2 32，解得 a4（舍去），a43，所以 n(8 33，4 33，43)又PC(0，2，2 3)，所以 cosPC，n 34 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为3
17、4 （12 分）20解：（1）圆 O1的圆心为(1，0)，半径为 2 2，点 F 在圆 O1内，故圆 O2与圆 O1相内切 设圆 O2的半径为 r，则|O2F|r，|O2O1|2 2r，从而|O2O1|O2F|2 2 因为|FF|22 2，所以曲线 C 是以点 F(1，0)，F(1，0)为焦点的椭圆 由 a 2，c1，得 b1，故 C 的方程为x22y21 （6 分）（2）设 l：yxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 D(0，t)，|DM|(x10)2(y1t)2 2|x1|，|DN|(x20)2(y2t)2 2|x2|页 8 第 yxt 与x22y21 联立得 3x24tx2t22
18、0 当8(3t2)0 时，即 3t 3时，x1x22t223 （8 分）所以|DM|DN|2|x1x2|4|t21|3 由（1）得 A(0，1)，A(0，1)，所以|DA|DB|t1|t1|t21|等式|DM|DN|DA|DB|可化为4|t21|3|t21|当 3t 3且 t1 时，43 当 t1 时，可以取任意实数 综上，实数 的值为43 （12 分）21解：（1）f(x)定义域为(0，1)(1，)，f(x)x21x(1x)20 因此 f(x)在(0，1)单调递增，在(1，)单调递增 （4 分）（2）曲线在 ylnx 在 xx0处切线 l 的方程为 y1 x0 xlnx01 （6 分）设 l
19、 与曲线 yex相切于点(x1，e1x)，则 e1x1 x0，e1x1 x0 x1lnx01 消去 x1得1x01x0lnx00，即 f(x0)0 于是当且仅当 x0是 f(x)的零点时，l 是曲线 yex的切线 因为 f(e)22e 0，f(e2)3e21e2 0，f(x)在(1，)单调递增，所以 f(x)在(1，)上存在唯一零点 所以在(1，)上存在唯一的 x0，使得曲线 ylnx 在 xx0处的切线 l 也是曲线 yex的切线 （12 分）22解：（1）因为 l 的倾斜角为，l 过点 M(2，4)，所以直线 l 的参数方程是 x2tcos，y4tsin(t 是参数)页 9 第 因为 si
20、n2 2cos，所以 2sin2 2cos，由 cos x，sin y 得曲线 C 的直角坐标方程是 y22x （5 分）（2）把 l 的参数方程代入 y22x，得 t2sin2(2cos 8sin)t200 当(2cos 8sin)280sin2 时，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则|MA|MB|t1t2|20sin2 由20sin2 4 0，0，0，得 4 （10 分）23解：（1）a3b3a2bab2a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)因为 a0，b0，所以(ab)0，而(ab)20，所以(ab)2(ab)0 于是 a3b3a2bab2 （5 分）（2）因为 ab2，所以 a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)2(ab)23ab 86ab 因为 ab(ab2)21，当且仅当 ab1 等号成立，所以 86ab2 故当 ab1 时，a3b3取最小值 2 （10 分）
