1、普陀区普陀区 20192019 学年第一学期高三数学质量调研学年第一学期高三数学质量调研 2019.122019.12 考生注意考生注意:1.1.本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2121 道试题，满分道试题，满分 150150 分分.考试时间考试时间 120120 分钟分钟.2.2.本考试分试卷和答题纸本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的
2、条答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前每个空格填对前 6 6 题得题得 4 4 分、后分、后 6 6 题得题得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1若抛物线2ymx的焦点坐标为1(,0)2，则实数m的值为 .2.132lim31nnnn .3.不等式11x的解集
3、为 .4.已知i为虚数单位，若复数1i1 izm是实数，则实数m的值为 .5.设函数()log(4)af xx（0a 且1a），若其反函数的零点为2，则a _.6.631(1)(1)xx展开式中含2x项的系数为_（结果用数值表示）.7.各项都不为零的等差数列 na（*Nn）满足22810230aaa，数列 nb是等比数列，且88ab，则4 9 11b b b _ .8.设椭圆：22211xyaa，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若AOP是等腰三角形（O为坐标原点），且2PQQAuuu ruuu r，则的长轴长等于_.9.记,a b c d e f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列
4、，则abcdef为偶数的排列的个数共有_.10.已知函数 22+815f xxxaxbxc,a b cR是偶函数，若方程21axbxc在区间1,2上有解，则实数a的取值范围是_.11.设P是边长为2 2的正六边形123456A A A A A A的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PNuuuu r uuu r的取值范围为_.12.若M、N两点分别在函数 yf x与 yg x的图像上，且关于直线1x 对称，则称M、N是 yf x与 yg x的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对）.已知 222442xxf xxx，1g xxa，若 yf x与 yg x
5、存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为 .二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.13.“1,2m”是“ln1m”成立的 （）)A(充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14.设集合1Ax xa，1,3,Bb，若AB，则对应的实数对(,)a b有（）)A(1对 B2对 C3对 D4对 15.已知两个不
6、同平面，和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题中正确的是（）)A(若/a，bI，则/ab B若a，b在平面内，且ca，cb，则c C若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交 D若，分别经过两异面直线a，b，且cI，则c必与a或b相交 16.若直线l：212xybaab经过第一象限内的点1 1(,)Pa b，则ab的最大值为 （）)A(76 B42 2 C52 3 D63 2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步
7、骤写出必要的步骤 1717.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 如图所示的三棱锥PABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，22ABACPA,点D在棱AC上，且=ADACuuu ruuu r(0).（1）当1=2时，求异面直线PD与BC所成角的大小；（2）当三棱锥DPBC的体积为29时，求的值.18.18.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满
8、分小题满分 8 8 分分 设函数 221xxf xa.（1）当4a 时，解不等式 5f x；（2）若函数 fx在区间2+，上是增函数，求实数a的取值范围.DCBAP第 17 题图 19.19.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且=60OA米，=60AOB，设POB（1
9、）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.2020.（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满小题满分分 6 6 分分.已知双曲线：22221(0,0)xyabab的焦距为4，直线:40l xmy（mR）与交于两个不同的点D、E，且0m 时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求
10、实数m的取值范围；（3）设A、B分别是的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.2121.（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满小题满NMPBAO第 19 题图 分分 8 8 分分.数列 na与 nb满足1aa，1nnnbaa，nS是数列 na的前n项和（*Nn）.（1）设数列 nb是首项和公比都为13的等比数列，且数列 na也是等比数列，求a的值；（2）设121nnn
11、bb，若3a 且4naa对*Nn恒成立，求2a的取值范围；（3）设4a，2nb，22nnnSC（*Nn，2），若存在整数k，l，且1kl，使得klCC成立，求的所有可能值.6 普陀区普陀区 2012019 9 学年第一学期高三数学质量调研评分标准学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参参考考）一、填空题一、填空题 1 2 3 4 5 6 2 3(0,1)12 2 9 7 8 9 10 11 12 8 2 5 432 1 18 3，64 6,8+8 2 32 21+2 2，二、选择题二、选择题 13 14 15 16 A D D B 三、解答题三、解答题 17.（1）当1=2时，ADDC，取棱A
12、B的中点E，连接ED、EP，则/EDBC，即PDE是异面直线PD与BC所成角或其补角，2 分 又PA，AB，AC两两互相垂直，则1PDDEEP,即PDE是正三角形，则3PDE.5 分 则异面直线PD与BC所成角的大小为3.6 分 （2）因为PA，AB，AC两两互相垂直，所以AB平面PAC,3 分 则11112233239D PBCB PDCPDCVVAB SPA DCDC，即23DC,7 分 又=ADACuuu ruuu r（0），2AC，则23.8 分 说明说明：利用空间向量求解：利用空间向量求解请请相应相应评评分分.18.（1）当4a 时，由22541xx得24 250 xx，2 分 令2
13、xt，则2540tt，即14t，4 分 即02x，则所求的不等式的解为(0,2).6 分（2）任取122xx，因为函数()22xxf xa在区间2+，上单调递增，EDCBAP17 题图 7 所以12()()0f xf x在2+，上恒成立，2 分 则1122222+20 xxxxaa恒成立，即1212122222+02xxxxxxa，1212221+02xxxxa，4 分 又12xx，则1222xx，即122xxa 对122xx恒成立，6 分 又12216xx，即16a ，则所求的实数a的取值范围为 16,).8 分 19.（1）由平行四边形OMPN得，在OPN中，120ONPo,60OPNo,
14、则sinsinsinONOPPNOPNONPPON，即60sin(60)sin120sinONPNoo，即40 3sin(60)ONo，=40 3sinPN，4 分 则停车场面积sin2400 3sin sin(60)SON PNONPo，即2400 3sin sin(60)So，其中060oo.6 分（2）由（1）得312400 3sinsin(60)2400 3sin(cossin)22So，即23600sincos1200 3sin=1800sin2600 3cos2600 3S，4 分 则1200 3sin(230)600 3So.6 分 因为060oo，所以30230150ooo，则
15、23090oo时，max1200 3 1 600 3600 31039.2S 平方米.故当30o时，停车场最大面积为1039.2平方米.8 分 说明：说明：（1）中中过过点点P作作OB的的垂线求平行四边形面积，请相应评分垂线求平行四边形面积，请相应评分.20（1）当0m 直线:4l x 与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303bao，又焦距为4，则224ab，3 分 8 解得3a，1b，则所求双曲线的方程为2213xy.4 分（2）设11(,)D x y，22(,)E xy，由221340 xyxmy，得22(3)8130mymy，则12283m
16、yym，122133y ym，且2226452(3)12(13)0mmm，2 分 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则0OD OEuuu r uuu r，即12120 x xy y，即1212(4)(4)0mymyy y，即212124()(1)160m yymy y，则22221313816033mmmm，4 分 即223503mm，则1533m 或1533m，即实数m的取值范围1515(3,)(,3)33U.6 分（3）线段PQ在x轴上的射影长是pqxx.设00(,)D xy，由（1）得点(3,0)B，又点P是线段BD的中点，则点003(,)22xyP，2 分 直线BD的斜率为003y
17、x，直线AD的斜率为003yx ，又BDPQ，则直线PQ的方程为000033()22yxxyxy，即2000003322xxyyxyy，又直线AD的方程为00(3)3yyxx，联立方程200000003322(3)3xxyyxyyyyxx，消去y化简整理，得222000003(3)(3)223xyyx xxx，又220013xy，代入消去20y，得20002(3)1(3)(3)(3)33xx xxx，9 即02(3)1(3)33xxx，则0234xx，即点Q的横坐标为0234x，5 分 则003233244pqxxxx.故线段PQ在x轴上的射影长为定值.6 分 说明说明：看作是看作是PQuuu
18、 r在在OBuuu r或或(1,0)i r方向方向上上投影投影的绝对值，的绝对值，请相应请相应评分评分.21.（1）由条件得1()3nnb ，*Nn，即11()3nnnaa，1 分 则2113aa，23211()39aa，设等比数列 na的公比为q，则322113aaqaa，又1(1)3a q，则14a.3 分 当14a，13q 时，111()43nna，*Nn，则111111111111()()()()()434334433nnnnnnaa 满足题意，故所求的a的值为14.4 分（2）当2n 时，1121nnnbb，21221nnnbb，L，212 1bb，以上1n个式子相加得，123122
19、22(1)nnnnbbn L，2 分 又12123baaa，则1222(1 2)(1)3241 2nnnbnana，即224nnbna.由1210nnnbb 知数列 nb是递增数列，4 分 又1nnnbaa，要使得4naa对*Nn恒成立，则只需34345400baabaa，即32421080baba，则281a .6 分（3）由条件得数列 na是以4为首项，2为公差的等差数列，则42(1)22nann，2(422)32nnnSnn，则223222nnnnSnnC.2 分 10 则222111(1)3(1)23242222nnnnnnnnnnnCC，当3n 时，224233428282(2)40nn ，即3n 时，1nnCC，则当3kl 时，klCC与klCC矛盾.4 分 又1l，即2l 时，232522kkk.当5k 时，2253253 52202216kkk ，又205207207(2)3016216168 ，即当5k，2l 时，232522kkk，与232522kkk矛盾.又2kl，则3k 或4，当3k 时，2233233 325222kkk ，解得1；当4k 时，2243243 425222kkk ，解得2.综上得的所有可能值为1和2.8 分
