1、 1 页 江苏省如皋、如东 20192020 学年度高三第一学期期中考试 数学数学理科理科 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合 A()lnx f xx，B1，2，3，则 AIB 答案：2，3 2若1 310zi，则z的实部为 答案：1 3已知abrr(3，4)，abrr3，则a br r 答案：4 4已知函数4,1()3,1xxf xxx，若()16f f a，则实数a 答案：1 5双曲线22221xyab(a0，b0)的渐近线方程为2 65yx，且过点(5，3 2)，则其焦距为 答案：7 6已知(m，n)为直线120
2、xy上一点，且0mn，则14mn的最小值为 答案：34 7若函数()cos(2)f xx(0)的图象关于直线12x对称，则 答案：56 8 在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，F 为棱 AD 的中点，E 为线段 CC1上一点，则三棱锥 EFDD1的体积为 FED1C1B1A1DCBA 答案：18 9已知 A0，2，B320 x xxxa，若 AB，则实数a的最大值为 答案：1 10已知等差数列 na的公差为2，且2a，4a，5a成等比数列，则该等比数列的公比为 2 页 答案：12 11 如图，已知点 O(0，0)，A(2，0)，P 是曲线yx(0 x1)上一个动点，则OP AP
3、uuu r uuu r的最小值是 答案：14 12已知1cos()63x，x(0，)，则sin(2)3x 13已知椭圆22221xyab(ab0)的离心率12e，A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为、，则cos()cos()的值为 答案：17 14已知函数4()ln2f xxxx，曲线()yf x上总存在两点 M(1x，1y)，N(2x，2y)使曲线()yf x在 M、N 两点处的切线互相平行，则1x2x的取值范围为 答案：(8，)二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或
4、演算步骤）15（本题满分 14 分）在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且222()tanA3bcabc（1）求角 A；（2）若2a，ABC 的面积=3S，求11bc的值 解：（1）由222()tan3bcaAbc，及余弦定理2222cosbcabcA得 2sin3bcAbc，又0bc，得3sin2A 因为ABC 为锐角三角形，所以02A，故=3A（2）因为2a，=3A，根据余弦定理2222cosbcabcA得 224bcbc，又13sin324SbcAbc，解得4bc 所以2244bc，即2222288bcbcbcbc 3 页 又+0b c，所以4bc 根据得，114
5、=14bcbcbc，所以，11bc的值为 1 16（本题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 C1C 的中点（1）求证：AC1平面 PBD；（2）求证：BDA1P PD1C1B1A1DCBA（1）证明：连结AC交BD于O点，连结OP，因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AOOC 又因为点P是侧棱1C C的中点，所以1CPPC 在1ACC中，11C PAOOCPC,所以1/ACOP 又因为OPPBD面，1ACPBD 面，所以1/AC平面PBD（2）证明：连结11AC.因为1111ABCD
6、ABC D为直四棱柱，所以侧棱1C C垂直于底面ABCD，又BD平面ABCD，所以1CCBD 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD 又1ACCCCI，111,ACAC CCAC面面,所以1BDAC 面 又因为1111,PCC CCACC A面,所以11PACC A面，因为111AACC A面，所以11APAC 面，所以1BDA P OPD1C1B1A1DCBA 17（本题满分 14 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，已知1a1，8S22 4 页（1）求na；（2）若 从 na中 抽 取 一 个 公 比 为q 的 等 比 数 列nka，其 中 k1 1，且 k1k2kn当 q 取最小值时
7、，求 nk的通项公式 解：（1）设等差数列的公差为d，则 81188 78+28222Sadd，解得12d，所以111(1)1(1)22nnaandn.（2）法一：因为akn为 公 比 q 的 等 比 数 列，11ka，所以1nnkaq 又12nnkka，所以111212nnnknkkaqka，即1=+1nnkqkq，所以1+1=+1nnkq k.又 k1 1，k1+1 20，所 以1nk 是 公 比 q 的 等 比 数 列，所 以121nnkq.因 为2*nnkkN，所 以1212nq，且 公 比 q 为 正 整 数，解 得2q，所 以 最小的公比2q 所以21nnk 法二：因为数列na是正
8、项递增等差数列，所以数列nka的公比1q，若22k，则由232a，得2132aqa，此时3223924kaa q，由1924n，解得7*2nN，所以22k，同理32k；若23k，则由32a，得2q，此时12nnka，另一方面，12nnkka，所以1122nnk，即21nnk，所以对任何正整数n，nka是数列na的第21n项所以最小的公比2q 所以21nnk 18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆 E：22221xyab(ab0)的左、右顶点分别为 A1、A2，上、下顶点分别为 B1、B2设直线 A1B1倾斜角的余弦值为2 23，圆 C 与以线段 OA2为直径的圆关
9、于直线 A1B1对称（1）求椭圆 E 的离心率；（2）判断直线 A1B1与圆 C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆 C 的面积为，求圆 C 的方程 5 页 解：（1）设椭圆 E 的焦距为 2c（c0），因为直线11A B的倾斜角的余弦值为2 23，所以222 23aab，于是228ab，即2228()aac，所以椭圆 E 的离心率22147.84cea （2）由144e 可设40ak k，14ck，则2bk，于是11A B的方程为：2 240 xyk，故2OA的中点20k,到11A B的距离d 2423kkk，又以2OA为直径的圆的半径2rk，即有dr，所以直线11A B与以2OA为直径的圆
10、相切 因为圆C与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B对称，所以直线11A B与圆C相切 （3）由圆C的面积为知，圆半径为 2，从而1k，设2OA的中点2 0,关于直线11A B：2 240 xy的对称点为m n,，则21,2422 24022nmmn 解得8 2233mn,所以，圆C的方程为228 22433xy 19（本小题满分 16 分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池 ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形 BEFG 的一边 BG 在 BC 上，矩形 AHIJ 的一边 AH 在 AD 上，点 C，D，F，I 在圆周上，
11、E，J 在直径上，且EOF6，设BOC，(6，2)若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为3：1（1）记游泳池及休息区的总造价为()f，求()f的表达式；（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值 JIH游泳池休息区休息区GFEDCBOA 解：（1）设游泳池每平方米的造价为3t，休息区每平方米造价为2(0)t t，则在矩形ABCD中，=sin,cosBC ROBR，所以，2222sin cossin2ABCDSOB BCRR.O A1 A2 B1 B2 x y 6 页 在矩形BEFG中，3sin,coscoscos6262REFRBERRR，所以，2322cos2BEF
12、GSEFBER.所以，2=322=3sin22cos3,6 2ABCDBEFGfStSt tR.（2）由（1）得，222=2 3cos22sin232 3sinsinftRtR 2=22sin33sin1tR，因为,6 2，所以1sin,12.令 0f，解得3sin=2.因为,6 2，所以=3.列表如下：所以，当=3时，总造价 f取得极大值21+2 3 tR，即最大值为21+2 3 tR.20（本小题满分 16 分）已知函数1()lnf xxx，()g xaxb（1）若函数()()()h xf xg x在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线()g xaxb是函数1()lnf x
13、xx图象的切线，求ab的最小值；（3）当3b 时，若直线()g xaxb与函数1()lnf xxx图象有两个交点，求实数a的取值范围 解：（1）由 1ln,f xxg xaxbx，得1()()()=lnh xf xg xxaxbx，则 211()h xaxx，因为()h x在0,上单调递增，所以，0,x，211()0h xaxx，即0,x，211axx，令21,(),0t H ttt tx，2()H ttt 在0,上单调递增，且 H t能取到0,上一切实数，所以0a，故实数a的取值范围为,0（2）设切点为0001,lnxxx，则切线方程为002000111lnyxxxxxx，,6 3 3,3
14、2 f+0 f Z 极大值 7 页 因为直线 g xaxb是函数 1lnf xxx图象的切线，所以20011axx，00000111lnlnaxbxxxx，所以0012ln1bxx，令010u ux，2ln1abuuuu，则 221112121uuuuuuuuu 当0,1u时，0u，u在0,1上单调递减；当1,+u时，0u，u在1,+上单调递增，所以 1=1abu 所以ab的最小值为1（3）当3b 时，令1()ln3F xxaxx，则222111()=axxF xaxxx 当0a 时，()0F x，()F x在0,上单调递增，()F x在0,上至多一个零点，故0a 令方程21=0axx的大根为
15、0 x，则20010axx 当00,xx时，()0F x，()F x在00,x上单调递增；当0,xx时，()0F x，()F x在0,x 上单调递减 因为()F x在0,上有两个零点，所以00000012()ln3=ln+20F xxaxxxx，解得01x（构造函数2()ln2G xxx，根据单调性求解），所以200110,2axx 取0100 xxex，则0000000()330 xxxxxF exeaexeae ，根据零点存在性定理，()F x在00,x上至少有一个零点，又()F x在00,x上单调递增，所以()F x在00,x上只有一个零点 同理，同理，()F x在0,x 上只有一个零点
16、 综上，实数a的取值范围为0,2.数学（附加题）21【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵1012,0202AB（1）求2B；（2）求12A B 解：（1）因为1202B，所以2121216=020204B.8 页（2）因为1002A，=20A，所以110102A.所以12101616=1040202A B.B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，圆C的圆心坐标为2,3C，半径为 2
17、 以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为212(22xttyt 为参数)（1）求圆C的极坐标方程；（2）设l与圆C的交点为,A B，l与x轴的交点为P，求PAPB 解：（1）设P（，）为圆C上任意一点，则 圆C的圆心坐标为2,3C，半径为 2，得圆C过极点，所以，cos3OPOA，即=4cos3，所以圆C的极坐标方程为=4cos3 （2）由（1）得=4cos=2cos2 3sin3，即2=2 cos2 3 sin，根据222cos,sin,xyxy，得 2222 3xyxy，即2222 30 xyxy（*）设11222222(1,),(1,)22
18、22AttBtt,将直线l的参数方程代入（*），整理得 2610tt 121 26,1ttt t 所以，221212121 2=46410PAPBttttttt t 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分）已知0()sin+4xfxex，记1()()*nnfxfxnN（1）123(),(),()f xfxfx；（2）求40141()()()nnSfxf xfxL x ACPO 9 页 解：由20()sin+4xfxex得102()()=2cos2xf xfxex.同理，2
19、2()2cos2sin2xfxexx，32()4sin2xfxex （2）由（1）得，当4nk kN时，42()4sincos2kxkfxexx，当4+1nkkN时，412()42cos2kxkfxex；当4+2nkkN时，4+22()42cos2sin2kxkfxexx，当4+3nkkN时，43()44sinkxkfxex.所以，44142432()()()()=45cos5sin45cos24kkxxkkkkfxfxfxfxexxex 所以，40141()()()nnSfxf xfxL10=54cos4nkxkex =14cos4nxex 23（本小题满分 10 分）已知 Sn112131
20、n（1）求 S2，S4的值；（2）若 Tn7n1112，试比较2nS与 Tn的大小，并给出证明 解：解：（1）S211232，S411213142512 （2）当 n1，2 时，T17111232，T27211122512，所以，2nSTn 当 n3 时，T373111283，S811213141516171876128083T3 于是，猜想，当 n3 时，2nSTn 下面用数学归纳法证明：当 n=3 时，结论成立；假设 nk(k3)时结论成立，即2kSTk；当 nk1 时，12kS2kS12k112k212k1 7k1112（12k112k212k2k1）（12k2k1112k2k1212k1）7k111212k2k12k112k12k17k111213147(k+1)1112，当 nk1 时，2nSTn 根据、可知，对任意不小于 3 的正整数 n，都有2nSTn 综上，当 n1，2 时，2nS=Tn；当 n3 时，2nSTn
