1、 理论攻坚-数学运算 4 主讲教师：张小飞 授课时间：2019.03.02 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚-数学运算数学运算 4 4（笔记）（笔记）第八节 计算问题 一、基础计算 交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。分配律：ac+bc=（a+b）*c。平方差公式：a2-b2=（a+b）*（a-b）。完全平方公式：（ab）=a22ab+b2。【知识点】计算问题：是事业单位的特色，因为太简单了，公务员中考很少，但在事业单位考试中仍然是重点。计算问题分为两类：1.基础计算：（1）尾数法：很简单，但在不同地方都有考查。比如尾数分别是 6、7、8、9，只算尾数就可以。万一尾数
2、相同，有时也可以用这种方法，比如 12018、12118、12136、12236，12018 和 12118 的后两位都是 18，但我们可以算到后三位，也能出答案。（2）基础公式：用中学时的公式。（3）定义新运算：事业单位和公务员考试的新特色。2.数列与平均数。【例 1】（2018 年广西）489756-263945.27=（）。A.220810.78 B.225810.73 C.225811.72 D.225812.73【解析】例 1.算上小数点，一共 8 位有效数字，不可能把 8 位有效数字全算出来，考虑尾数法，选项尾数为 8、3、2、3，如果尾数是 3 则不好使，继续往前看一位，78、7
3、3、72、73，73 相同，再往前看一位，0.78、0.73、1.72、2.73，发现算到后三位一定可以出答案，把“.00”写出来，489756.00-263945.27，只算后三位，6.00-5.27，尾 3，排除 A、C 项；相减得到 0.73，对应 B 项。【选 2 B】【注意】但凡考计算，一定是有技巧的运算，不是硬算。【例 2】（2016 年成都）11+22+33+44+55的值是（）。A.6165 B.3630 C.5840 D.6655【解析】例 2.不要硬算，不可能要把 5 个数的平方算出来再加和，不然题目没有意义，本题一定有技巧，和中小学的公式相关，看底数，发现分别是 11、2
4、2、33、44、55，都是倍数关系，分别的 11 的 1 倍、2 倍、3 倍、4 倍、5 倍，所 以 原式=（11*1）+（11*2）+（11*3）+（11*4）+（11*5）=11*1+11*2+11*3+11*4+11*5=11*（1 +2 +3 +4 +5 ）=121*（1+4+9+16+25）=121*55，尾数是 5，排除 B、C 项；121*50=6050，还要再加几百，A 项只比 6050 大一点，比较小，排除，选择 D 项。【选 D】【例 3】（2016 年天津）若两个数的平方差为 19，之和为 19，那么这两个数的积为多少？（）A.86 B.90 C.100 D.120【解析
5、】例 3.出现“平方差”，考查平方差公式：a2-b2=（a+b）*（a-b），平方差就是两个数的平方做差，本题有点考查语文功底，“之和为 19”是指两个数之和，而不是平方差之和，“的”前面是主语，不要搞错。根据题意，a2-b2=19，a+b=19，代入公式：19=19*（a-b），得 a-b=1，联立解得 a=10，b=9，所以 a*b=90。【选 B】【注意】本题考查平方差公式和对题的理解。【知识点】1.交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。比如 25*19*4=25*4*19=100*19=1900；63+56+37+44=（63+37）+（56+44）=100+100=
6、200，哪两数好算就先算哪两数。2.分配律：ac+bc=（a+b）*c。比如 11*11+11*22=11*（11+22）。3 3.平方差公式：a2-b2=（a+b）*（a-b）。例 3 有讲，不再多说。4.完全平方公式：（ab）=a22ab+b2。迄今完全没考过，可以记一下，（a+b）=a2+2ab+b2，（a-b）=a2-2ab+b2。比如 15+25+750，验证 750=2*15*25，所以 15+25+750=（15+25）=40=1600。【例 4】（2018 年天津）假设“”的运算法则如下：对于任意整数 m、n，若 m+n8，则 mn=m*n；若 m+n8，则 mn=m+n。则（
7、23）+（34）+（45）+（56）+（67）+（78）的值为（）。A.160 B.166 C.172 D.178【解析】例 4.有两种运算方法，要么乘，要么加，就看相加是否大于 8，2+38，用第二种方式，2+3；3+48，也是第二种方式，3+4；4+58，用第一种方式，4*5；5+68，也是第一种方式，5*6；剩下的都是大于 8，6+78，7+88，所以都乘起来，原式化为（2+3）+（3+4）+4*5+5*6+6*7+7*8=5+7+20+30+42+56，可以直接运算，也可以考虑尾数法，只算个位，得到尾数为 0，对应 A 项。【选 A】【注意】“”怎么规定，就怎么运算。二、数列与平均数
8、平均数基本公式：平均数=总数/个数总数，总数=平均数*个数。等差数列通项公式：an=a1+（n-1）*d。等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数=平均数*项数。【知识点】数列与平均数：1.平均数基本公式：（1）平均数=总数/个数。比如班里有8人，总分是640分，平均分=640/8=80。（2）总数=平均数*个数。要掌握式子之间的相互转化。4 2.平均数识别特征（记不记都可以）：会出现“平均”。3.平均数解题方法：方程法/列式子。【例 5】（2017 年深圳）七个人排成一竖排，他们的平均身高为 172cm，已知前四人平均身高为 170cm，后四人平均身高为 173cm，则第
9、四个人的身高为（）cm。A.168 B.170 C.172 D.174【解析】例 5.7 个人，没说按高低排，随机排即可，出现 3 个“平均身高”，平均数问题，根据题意能得到总身高。画图，把 7 个人依次列出来，并且把前四人和后四人圈起来，发现第四个人圈了两次，重复了，需要减掉一次，套公式，总数=平均数*个数，前四人总身高=170*4，后四人总身高=173*4，相加再减掉算重复的第四人即是七个人的总身高，七个人总身高=172*7，故 170*4+173*4-第四=172*7，选项尾数不同，用尾数法，2-？=4，所以第四个人的个位为 8，对应A 项。【选 A】【答案汇总】1-5：BDBAA 【知
10、识点】等差数列：1.特征：相邻两项差相等，比如 1、3、5、7、9，相邻两数相差 2，构成了公差 d=2 的等差数列，用 a 表示项数，an就是第 n 项。5 2.通项公式：an=a1+（n-1）*d。不需要推导，只需去验证即可，比如 1、3、5、7、9，验证一下，a3=1+（3-1）*2=5；a5=a2+（5-2）*d=3+（5-2）*2=9，因为一般都是给 a1，所以括号内减 1，如果给了其他，an=am+（n-m）*d，括号内都是小角标之减。3.等差数列求和公式（记住）：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数=平均数*项数。平均数*项数一般不会直接考，比如 1、3、5、7、9，平均数
11、=（1+3+5+7+9）/5=25/5=5，（a1+an）/2=（1+9）/2=5，中位数=5。如果是偶数项，比如 1、3、5、7、9、11，则中位数=（5+7）/2=6，Sn=中位数*项数=6*6=36，也可以算出来。4.为什么不讲等比数列？因为很少考，即使考了，要么难到变态，掌握了公式也做不出来，要么简单到变态，不掌握公式也能做出来。【例 6】（2017 年湛江）1+2+3+4+n=101025，则自然数 n=（）。A.449 B.450 C.451 D.452【解析】例 6.识别题型：给了前 n 个自然数的和，相邻两项相差 1，是公差d=1 的等差数列，给了和是 101025，用求和公式
12、，等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n（如果题目之间给了 a1，优先用这个公式，否则用“中位数*n”更快），得到（1+n）/2*n=101025n*（n+1）=202050，比较难算，直接代入，如果想更快，可以看尾数，202050 的尾数是 0，只有 0*自然数=0，或者 5*偶数时尾数是 0，所以 n 和 n+1 至少有一个要么是 0 要么是 5，D 项：n=452，n+1=453，452*453，2+3=6，不可能，排除；C 项：n=451，n+1=452，451*452，排除；剩下两项，B项：n=450，n+1=451，450*451；A 项：n=449，n+1=450，449
13、*450，再算一次即可，发现 A 项满足。【选 A】【例 7】（2017 年武汉）某计生局工作人员老王在 8 月的某个星期一出差，直到下个星期一回来，将办公室的日历从出发日开始连续翻过 7 张，翻过去的日期之和是 126，老王回来的星期一是（）号。A.20 B.21 C.22 D.23 6 【解析】例 7.本题要先会识别，7 张日历，相邻两张差 1，构成了公差 d=1的等差数列，给了和是 126，用求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数，没有a1，所以用中位数。上周一出发，翻了 7 张，周一、周二、周三、周四，周五、周六、周日，周四是中位数，则 a4*7=126，得 a4=18。
14、依次往后推，周五、周六、周日依次是 19、20、21，所以回来的周一是 22 号，注意不要误选 B 项。【选 C】【注意】建议全枚举出来，避免掉坑。【答案汇总】6-7：AC 【小结】1.基础计算：（1）尾数法：加、减、乘、乘方；选项尾数不同。（2）基础公式：交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。7 分配律：ac+bc=（a+b）*c。平方差公式：a2-b2=（a+b）*（a-b）。完全平方公式：（ab）=a22ab+b2。（3）定义新运算：特征：有全新的运算符号。方法：新符号按照定义进行运算；先括号，再乘除，后加减。2.数列与平均数：（1）平均数：特征：有“平均”。公式：平均
15、数基本公式：平均数=总数/个数；总数=平均数*个数。方法：列式子、列方程。（2）等差数列：特征：相邻两项差相等。公式：通项公式：an=a1+（n-1）*d；等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。第九节 容斥原理 【知识点】容斥原理：考查不多，但也是传统的重点题型，套路性比较强，不知道公式可能无能为力，但知道公式会很好算，投入产出比较高，所以要掌握。1.题型特征：给出两个/三个条件，且条件之间有重复。给两个条件就是两集合，给三个条件就是三集合。2.两集合容斥原理：出现“满足 A，满足 B，A 和 B 都满足”等表述。比如我们班有些同学喜欢学习，有些同学喜欢睡觉，还有些同学
16、既喜欢学习又喜欢睡觉。3.三集合容斥原理：出现“满足 A，满足 B，满足 C，满足 A 和 B，满足 A和 C，满足 B 和 C，三个条件都满足”等表述。比如我们班有些同学喜欢学习，有些同学喜欢睡觉，有些同学喜欢吃东西，有些同学喜欢学习和睡觉，有些同学喜欢睡觉和吃东西，有些同学喜欢学习和吃东西，还有些同学喜欢学习又喜欢睡 8 觉又喜欢吃东西。一、两集合容斥原理：【知识点】两集合容斥公式：A+B-AB=总数-都不满足。AB：既满足 A又满足 B，比如 A 代表语文考满分的，B 代表数学考满分的，AB 代表数学和语文都考满分的，总数代表所有人，都不满足代表都没有考满分的。如图，A 圆代表语文考满分
17、的，B 圆代表数学考满分的，相加，中间代表语文和数学都考满分的，加 A 时算了一次，加 B 时又算了一次，有重复，所以要剔除重复，减掉一次，-AB。所以 A+B-AB 就是满足条件的部分，等于总数-都不满足。【例 1】（2017 年临汾）甲、乙两人同时给 47 盆花浇水，已知甲浇了 27 盆，乙浇了 32 盆，还有 6 盆花没有浇过水，那么两人都浇过的花有几盆？（）A.22 B.20 C.18 D.16【解析】例 1.“甲浇了 27 盆，乙浇了 32 盆”，给了两条件，“都浇过”，所以之间有重复，两集合容斥，公式：A+B-AB=总数-都不满足，代入数据：27+32-都浇=47-6，选项尾数不同
18、，考虑尾数法，9-？=1，得到？=8，对应 C 项。【选 C】【例 2】（2018 年河北）在 1 到 400 的全部自然数中，既不是 7 的倍数又不 9 是 9 的倍数的数有多少个？（）A.293 B.299 C.301 D.305【解析】例 2.直接找不是的不好找，找是的好找，有 4 种情况：是 7 的倍数；是 9 的倍数；既是 7 的倍数又是 9 的倍数；既不是 7 的倍数又不是 9 的倍数，它们的关系为：7 的倍数+9 的倍数-既是 7 的倍数又是 9 的倍数=总-既不是 7 的倍数又不是 9 的倍数。是 7 的倍数的数有 400/757.1，58*7=406，大于 400，所以到不了
19、 58，取 57 个；不用再看余数，所以是 9 的倍数的数有 400/944 个，是 7 的倍数又是 9 的倍数有 400/（7*9）6 个，57+44-6=400-？，选项尾数不同，用尾数法，5=0-？，得到？=5，对应 D 项。【选 D】【例 3】（2017 年呼伦贝尔）某学院组织学生进行体育文化活动，有 80%的学生报名参加，其中报名参加体育活动的人数与报名参加文化活动的人数比是 2：1，两个活动都报名参加的人数为只报名参加文化活动人数的 50%，则报名参加体育活动的人数是未报名参加活动人数的（）倍。A.2 B.3 C.4 D.5【解析】例 3.模仿了 2014 年国考的一道题，“有 8
20、0%的学生报名参加”则有20%没参加，读题可知是两集合容斥问题，有参加体育活动的，有参加文化活动的，有两个活动都参加的，还有两个活动都不参加的，有两个条件且条件之间有重复，公式：A+B-AB=总数-都不满足，如果参加体育活动的是 A，参加文化活动是 B，“只报名参加文化活动”则是只 B，但是没有只满足 B 这个条件，公式用不了，记住出现了“只满足一个条件”，考虑画图。蓝色为体育，绿色为文化，从里往外标数会比较好标，中间是都参加的人数，本题没给人数，一个带单位的都没给，可以赋值，所以设两个都参加=中间=1，“两个活动都报名参加的人数为只报名参加文化活动人数的 50%”，则只参加文化活动=1*2=
21、2 人，文化=1+2=3 人，“其中报名参加体育活动的人数与报名参加文化活动的人数比是 2：1”，则参加体育=3*2=6 人，只参加体育=6-1=5 人，“有 80%的学生报名参加”，参加活动=5+2+1=8 人，80%对应 8 人，另外有 20%没参加，则对应 2 人，所以报名参加体 10 育活动的人数是未报名参加活动人数的倍数=6/2=3 倍。【选 B】【注意】1.出现“只满足 1 个条件”，选择画图法。2.标数顺序：从里往外标数。二、三集合容斥原理【知识点】1.公式推导：如图所示，用三个圆圈分别代表满足条件 A 的，满足条件 B的，满足条件 C 的，矩形表示总数，所以圆圈外面的就是 A、
22、B、C 三个条件都不满足的，满足条件的=总数-不满足条件的，满足条件的还可以表示为三个圈的共同面积，先将三个圆圈 A、B、C 加起来，加起来一定有重复的，再减去重复的，红色点的部分在加 A 的时候加了一次，加 B 的时候也加了一次，减掉 A 和 B 相交的红点部分，多加了一次，就减掉一次，画横线的部分在加 A 的时候加了一次，加 C 的时候也加了一次，所以这一部分也加了两次，需要减掉一次，以此类推，同理画蓝色线的部分也要减掉一次，此时已经去重完成，同时减了 3 次画黑圈的部分，加的时候也加了 3 次，相当于把它漏掉了，需要再加上，所以三集合标准公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-
23、都不满足。2.标准公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。3.记忆：建议大家一加、二减、三加。也就是满足一个条件的加，满足两个条件的减，满足三个条件的加，这样不容易记错。11 【例 4】（2017 年亳州）针对 100 名体育爱好者进行调查发现，28 人爱好篮球，30 人爱好足球，42 人爱好乒乓球，8 人既爱好乒乓球又爱好足球，10 人既爱好篮球又爱好乒乓球，5 人既爱好足球又爱好篮球，3 人爱好此三项运动，则不爱好此三项运动中任何一项的有（）。A.20 人 B.18 人 C.17 人 D.15 人【解析】例 4.题干给出 3 个条件，且 3 个条件有重复，非常典型的三集
24、合容斥标准公式的特征，用一加、二减、三加即满足一个条件的加，满足两个条件的减，满足三个条件的加。列式为 28+30+42-8-10-5+3=100-都不，选项尾数不同，用尾数法，尾 0-尾 3+尾 3=100-都不，0=0-？，所以？=0，尾数为 0，对应A 项。【选 A】【注意】1.直接计算也是可以的，不论怎样计算都不难。2.先识别题型，给出 3 个条件且条件之间有重复，为三集合容斥原理，再套公式做题，最后进行计算。【知识点】非标准公式：1.公式：A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都不满足。2.特征：满足两个条件的为 1 个数据（如例 4，“8 人既爱好乒乓球又爱好足球，10 人既爱好
25、篮球又爱好乒乓球，5 人既爱好足球又爱好篮球”，3 句话都满足两个条件，满足两个条件的有 3 个数即 8、10 和 5，不能用非标准公式，如果 12 改为爱好其中两项的有 15 人，两项就是满足两个条件，15 是 1 个数据，这就叫做满足两个条件的为 1 个数据，用非标准公式）。3.公式推导：满足=总数-都不，只需要知道满足的是多少即三个圆圈覆盖起来的共同面积。如图，当 A、B、C 加完以后，去重，把满足两项的单独去重，红点部分只满足 A 和 B 两个部分，红线部分只满足 A 和 C 两个条件，三角部分只满足 B 和 C 两个条件，都是只满足其中两个条件，这三个区域都是算了两次，所以减去满足两
26、项之和，中间黑色线圈起来的部分一共算了 3 次，为了只保留 1 次，去重要去 2 次，即减去 2*ABC，所以公式为 A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都不满足。【例 5】（2017 年大连）100 位医务人员中，有 75 人懂法语，83 人懂英语，65 人懂日语，懂三种语言的有 50 人，三种语言都不懂的有 10 人。那么懂两种语言的有（）人。A.88 B.86 C.38 D.33 E.90【解析】例 5.懂两种语言即满足两个条件，不管算出来的数是多少都是一个数，这就叫做满足两个条件的为一个数据，符合三集合容斥非标准公式特征，设要求的懂两种语言的为 x 人，根据公式 A+B+C-满足两
27、项-2*ABC=总数-都 13 不满足，列式为 75+83+65-x-2*50=100-10，本题可以考虑尾数法，但是要有所准备，因为 A、C 项尾数均为 8，如果算出来尾数为 8，还需要重新计算，为了避免，所以直接计算，原式化简为 123-x=90，解得 x=33。【选 D】【答案汇总】1-5：CDBAD 【拓展 1】一个班共 100 人，去过甲地、乙地、丙地的分别有 30 人、40 人、50 人，去过甲地和乙地的有 5 人，去过甲地和丙地的有 10 人，去过乙地和丙地的有 15 人，三地都去过的有 1 人，则三地都没有去过的有（）人。【解析】拓展 1.肯定为三个条件，三个条件之间有重复，满
28、足两个条件的有 3 个数据，所以用标准公式做题。【拓展 2】一个班共 100 人，去过甲地、乙地、丙地的分别有 30 人、40 人、50 人，去过其中两地的有 27 人，三地都去过的有 1 人，则三地都没有去过的有（）人。【解析】拓展 2.由“去过其中两地的有 27 人”可知只有满足两个条件的有1 个数据，所以用非标准公式做题。【注意】事业单位考标准公式最多，比较简单。国考、联考考非标准公式最多，因为非标准公式有可能有一部分考生不知道。【小结】容斥原理：14 1.两集合：（1）公式：A+B-AB=总数-都不满足（考查最多）。（2）画图：特征：出现“只满足一个条件”。注意：从里往外标数。2.三集
29、合：可能考画图，和两集合的画图是一样的，没有任何区别，如果考到的话，数据比较多，可以先跳过，因为比较浪费时间。（1）标准公式：特征：满足两个条件的为 3 个数据。公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。（2）非标准公式：特征：满足两个条件的为 1 个数据。公式：A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都不满足。第十节 高频几何问题 【注意】几何问题考查频率比较高，可以分为两类，一类为公式计算类，另一类为计数类。考查公式计算类比较多，达到 80%左右，几乎可以说是逢考必出，套公式计算，所以掌握公式很重要。一、公式计算类【知识点】1.规则图形：直接用公式。2.不规则图形，转化为
30、规则图形，再用公式。只要是没有公式的图形，用割补平移转化为有公式的来做。（1）长度相关公式：C正方形=4a；C长方形=2*（a+b）；C圆=2r。r 为半径。（2）面积相关公式：S正方体=a；S菱形=对角线乘积/2，如图，对角线为 AC和 BD，所以就是（AC*BD）/2；S长方形=ab；S平行四边形=ah；S三角形=1/2ah；S梯形=1/2*（a+b）*h；S圆=r；S扇形=n/360r，扇形为圆形的一部分，所以看扇形占圆形的比例，比例的表示看圆心角的角度，如果 n=90，则 S扇形=90/360 15 r=1/4r，r 均为半径。（3）表面积相关公式：正方体所有的棱长都相等，所以任何一个
31、面的面积都可以表示为 a，共有 6 个面，所以 S正方体=6a；长方体的长、宽、高都不相等，发现每两个对面是一样的，即每两个面是相等的，相当于 6 个面相加，S长方体=2ab+2bc+2ac；S球=4r（近三年没考过，可以忽略）；S圆柱=2r+2rh，圆柱上下两个底面均为圆形，圆的面积为r，两个圆的面积为 2r，还有一个圆柱的侧面积，想象成一张纸卷成圆筒，圆筒相当于圆柱的侧面积，展开以后如图，也就是一个长方形，一条边为高 h，另外一条边为圆的周长 2r，即侧面积为 2rh。（4）体积相关公式：V正方体=a；V长方体=abc；V柱体=Sh，所有的柱体的体积都是表面积乘以高；V锥体=1/3Sh，椎
32、体是柱体体积的 1/3，顶点向底面作垂线即为高；V球=4/3r（可以忽略，近年来没考过，不需要掌握）。16 【知识点】基础公式：1.周长：C正方形=4a；C长方形=2*（a+b）；C圆=2r。2.面积：S正方体=a；S菱形=对角线乘积/2；S长方形=ab；S平行四边形=ah；S三角形=1/2ah；S梯形=1/2*（a+b）h；S圆=r；S扇形=n/360r。3.表面积：S正方体=6a；S长方体=2ab+2bc+2ac；S球=4r；S圆柱=2r+2rh 4.体积：V正方体=a；V长方体=abc；V柱体=Sh；V锥体=1/3Sh；V球=4/3r。5.不太熟悉的公式需要记住：S菱形=对角线乘积/2；
33、S扇形=n/360r；V柱体=Sh；V锥体=1/3Sh。【知识点】直角三角形：最基本的公式勾股定理：a+b=c，已知 a=1，b=3，c=2，列式为 1+（3）=2。1.常考勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13。3n、4n、5n 也是一组勾股数，即（3n）+（4n）=（5n），3n、4n、5n 扩大任意整数倍得到的数均为勾股数，例如，均扩大 10 倍为 30、40、50 也是勾股数，看到两数，看是否符合勾股数，如果符合直接用勾股数得答案（不需要计算，需要记住常考的勾股数）。2.特殊直角三角形：（1）30：短直角边是斜边的一半；长直角边是短直角边的3倍。比如短直角边的长度为 4，那么
34、另外一条直角边的长度为多少？根据长直角边是短直角 17 边的3倍，则另外一条直角边的长度为 43。斜边为短直角边的 2 倍，即 4*2=8。（2）45：三角形的内角和为 180，一个角为 45，另外一个角为 90，所以另一个角也为 45，故为等腰直角三角形。如果两条直角边相等，且等于 1，根据勾股定理 1+1=C，C=2，所以得出结论，斜边是直角边的2倍。【例 1】（2017 年许昌）有一个长方形花圃，如果长增加 6 米，或者宽增加4 米，面积都比原来增加 48 平方米，花圃原来的面积为（）平方米。A.94 B.95 C.96 D.93【解析】例 1.花圃为长方形，S长方形=ab，求出长和宽即
35、可，在几何问题里，平面图形可以边读题边画图，画图如下，设长方形的长为 a 米，宽为 b 米，已知“长增加 6 米，或者宽增加 4 米，面积都比原来增加 48 平方米”，所以新增加的长方形面积为 6*b=48，b=8，“宽增加 4 米，面积也增加 48”，依然为增加一个长方形，增加的长方形面积为 4a=48，a=12，所以原来的面积为 S长方形=ab=12*8=96平方米。【选 C】18 【例 2】（2017 年襄阳）如图，以等腰直角三角形两个锐角顶点 A、B 为圆心作等圆，两个圆恰好外切，若 AC=2，那么圆中阴影部分的面积之和是（）。A./4 B./2 C.D.2【解析】例 2.方法一：已知
36、等腰直角三角形，说明C为直角，等腰即 AC=BC=2，两个锐角均为 45，即A=B=45，外切即只有一个点相交，求阴影部分的面积，两个阴影部分相等，只求任意一个即可，任意一个阴影部分为扇形。已知公式 S扇形=n/360r，圆心角 n=45，再求 r，直接通过 AC、BC 求 r，不太好求，由于两个圆是等圆，等腰直角三角形的斜边为 AB，两个圆的半径相等，假设中间的点为 D 点，所以只需要求出 AB 的长度再求半径即可，在等腰直角三角形里，一个角是45，斜边是直角边的2倍，AB=2*AC=22，半径r=AB/2=2，19 由于阴影部分的面积为两个扇形部分的面积，所以需要乘以 2，代入公式为 45
37、/360*（2）*2=1/4*2=/2。方法二：如果实在没办法，求不出来半径，也可以量一量，做等比例换算也是可以的。【选 B】【注意】出题人给出了图形，本题实际就被简化了。【例 3】（2018 年天津）一个边长为 80 厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形，问第五个正方形的面积是多少平方厘米？（）A.218 B.362 C.400 D.442【解析】例 3.边读题边画图，如下图，依次算出来不太可能，找规律来算，假设大正方形的边长为 2a，第一个正方形的面积为 4a，根据结论，等腰直角三角形中，斜边为直角边的2倍，所以第二个正方形的面积为
38、（2a)=2a，第二个的面积为第一个面积的一半，以后的依次为一半即可，所以第五个正方形的面积为 80*（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=400。【选 C】20 【知识点】1.连接任意四边形的各边中点，得到的新四边形的面积是原来的1/2。2.连接任意三角形的各边中点，得到的新三角形面积是原来的 1/4。任意画一个等边三角形 ABC 如下图，取每条边的中点，所以边都相等，大的三角形分为了 4 个相等的三角形，而新的三角形只有 1 个，只占大三角形的 1/4。【例 4】（2017 年汕尾）甲、乙两个容器均有 60 厘米深，底面积之比为 3：2，甲容器水深 12 厘米，乙容器水深 8 厘
39、米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘米？（）A.20 B.25 C.30 D.35【解析】例 4.本题理解为鱼缸的形式，画图如下，已知“鱼缸高度为 60cm，甲容器水深为 12cm，乙容器水深 8 厘米”，本来深度不一样，但是倒了同样多的水，水深相等。设水深为 h 厘米，有底面积有高，可以得到体积，找体积的关系，两个容器原来的体积不相等，注入水之后的体积也不相等，但是注入水的体积是相等的，甲：现在水体积-原来水体积=注入水体积；乙：现在水体积-原来水体 21 积=注入水体积，本题没有告诉容器的形状，可以假设甲、乙两个容器为柱体，V柱体=sh，已知底面积之比为
40、 3：2，列式为 3a*h-3a*12=2a*h-2a*8，化简为3h-36=2h-16，解得 h=20。【选 A】【注意】1.不论是什么形状，只要能算出来答案，就是正确的，柱体是比较好算的，椎体也是一样的，都多乘以 1/3 就可以了，两边都乘以 1/3 就可以约掉了，其实是一样的，一上来就假设成柱体是因为柱体比较好计算，不用再乘以椎体的 1/3。2.最好不要想成立方体，因为立方体的长、宽、高所有的棱长都相等，容器为 60cm 深，说明高是 60cm，底面积之比应该一样，就得不到底面积之比为 3：2。3.假设成什么图形都可以，但是尽量不要假设成特殊的，柱体或者椎体都可以，但是不可能一个是柱体一
41、个是椎体，否则答案会变来变去，出题人没有告诉容器一样，但是必须按照容器一样来做题，这是出题人不太严谨的地方，不要太纠结。【例 5】（2015 年新乡）如下图所示，每个小正方形的面积是 1 平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【解析】例 5.小正方形面积为 1cm，则小正方形的边长也为 1cm，阴影部分为不规则图形，用割补平移转换为规则图形的和或者差，大正方形的面积为3=9，再减去白色的区域，共 4 个，任意一个都为三角形，均为直角三角形，如图，S=（1/2）*1*2=1；S=（1/2）*2*2=2；S=（1/2）*2*1=1；S=（1/2）*
42、1*3=1.5，所以 S阴=S大正方形-S白色区域=9-5.5=3.5。【选 A】22 【注意】可以把阴影部分拆成几个部分的和，尽量拆规则图形，拆为平行四边形+梯形+三角形，留个作业，课下思考一下，转化为求阴影部分的面积，晚上答疑的时候讲。【答案汇总】1-5：CBCAA 二、计数类【知识点】计数类：1.平面计数，直接数，记住不重不漏。2.立体计数。（1）有图，注意不重不漏。（2）无图，用结论。【例 6】（2017 年石家庄）3 条直线最多能将平面分成几部分？（）A.4 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分【解析】例 6.如何分成最多，3 条直线可能一下子研究不明白，可以先看 1条直线
43、，可以将平面分成两个部分，2 条直线分为相交线和平行线，如果是平行线可以分为 3 个平面，如果是相交线可以分为 4 个平面。要想分成的平面最多，就要让直线尽可能都相交，如图所示三条线两两交叉，数一下，最多可将平面分成 7 部分。【选 C】23 【注意】1.如何做到最多、最少？相交平面会多，平行则少。2.数的时候做到不重不漏。【例 7】（2018 年天津）一块边长为 8cm 的魔方全部由体积为 1cm的小正方体组成。小明现要给该魔方的表面上色，则有（）块小正方体将被上色。A.146 B.186 C.216 D.296【解析】例 7.直接用结论做题，可以将涂色一面、两面、三面的相加，也可以用总个数
44、-未涂色的=8-（8-2）=8-6=512-216=296。【选 D】【知识点】涂色类：有一个大正方体，每条棱有 n 个边长为 1 的小正方体，把这个大正方体外面涂色，问这些小正方体中：1.三面涂色的有几个？答：要想 3 面涂色，只有 8 个顶点能三面涂色，所以能 3 面涂色的有 8 个，即图中的粉色部分。24 2.两面涂色的有几个？答：但凡挨着棱的都可以两面涂色，棱上有 n 个小正方体，因为棱上两边的顶点均为三面涂色的，所以要减去 2 个，1 条棱上有（n-2）个，共有 12 条棱，所以两面涂色的有 12（n-2）个即画黄色的部分。3.一面涂色的有几个？答：一面涂色的为白色的部分，在面上，一
45、个面为（n-2）个，共 6 个面，所以一面涂色的有 6（n-2）个。25 4.未被涂色的有几个？答：正方体的表面的 1 层都是涂了色的，上下，左右，前后都要削掉 1 层，内部为没有被涂色的，即每一条棱上都削掉了两层，所以未被涂色的有（n-2）个。【例 8】（2015 年许昌）一个涂满红色的正方体，每面等距离切若干刀后，得到若干个小正方体，其中两面红的共计 60 块，一面红的有（）块。26 A.120 B.150 C.60 D.100【解析】例 8.直接用结论，代入列式，两面涂色的为 12（n-2）=60，n-2=5，一面涂色 6（n-2）=6*5=150。【选 B】【答案汇总】6-8：CDB
46、【小结】高频几何问题：1.公式计算类：（1）规则图形：直接用公式。（2）不规则图形：转化为规则图形，再用公式。2.计数类：（1）平面：不重不漏。（2）正方体涂色：三面涂色 8 个。两面涂色 12（n-2）个。一面涂色 6（n-2）个。未涂色（n-2）个。【注意】1.下节课 18：45 开始答疑。2.作业：（1）把例题梳理一遍，不理解的听一下回放。（2）预习数字推理，建议听一下，一共 5 个数字推理题，24 个为送分题 27 下节课只要听就会做，一定要来听（至少每节做一半例题）。【答案汇总】第八节计算问题：1-5：BDBAA；6-7：AC 第九节容斥原理：1-5：CDBAD 第十节高频几何问题：1-5：CBCAA；6-8：CDB 28 遇见不一样的自己 Be your better self
