1、 (共共共共五五五五十十十十三三三三讲讲讲讲)主主主主讲讲讲讲老老老老师师师师：王王王王威威威威 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第2页 客服电话:4006-01-9999 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第3页 客服电话:4006-01-9999 目录目录 第一讲第二讲 数集.1 第三讲 方程与不等式.7 第四讲 集合.11 第五讲第十二 函数.15 第十三讲-第十五讲 数列.30 第十六讲-第二十讲 平面几何.34 第二十一讲-第二十五讲 圆锥曲线.41 第二十六讲第二十八讲 向量.50 第二十九讲 立体几何.55 第三十讲-第三十一讲 概率
2、与统计.62 第三十二讲-第三十五讲 极限和连续.72 第三十六讲-第三十九讲 导数与微分.81 第四十讲第四十一讲 积分.91 第四十二讲第五十一讲 教材教法（学科课程教学指导）.98 第一讲第一讲第第二二讲讲 数集数集 第一章 数集 1.1.1 数 一、实数的分类 二、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1.开方开不尽的数，如，3等；2.有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如，3+8 等；3.有特定结构的数，如 0.1010010001等；4.某些三角函数，如sin60o等。教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第2页 客服电话:
3、4006-01-9999 1.1.2 数的表示 一、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。例题 1.用 0-9 这十个数字组成最小的十位数是_，四舍五入到万位，记作_万。答案1023456789，102346 万 解析用 0-9 这十个数字组成最小的十位数是 1023456789，四舍五入到万位为 102346 万。二、科学记数法 把一个数写做）（10110aan的形式，其中 n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。例题 1 某电视台报道，截止到 2010 年 5 月 5 日，慈善会已接受支
4、援玉树地震灾区的指标 15510000元，将 15510000 用科学计数法，表示为（）A0.1551108 B1551104 C1.551107 D15.51106 答案C 解析把一个数写做10 110naa（）的形式，其中 n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。三、小数化分数 1、无限循环小数化分数 （1）纯循环小数如何化为分数 例 1：如何把 0.33和 0.4747 化成分数 0.33103.33 0.33100.33=3.330.33 (10-1)0.33=3 即 90.33=3 那么 0.33=3/9=1/3 例 2：0.474710047.4747 教师招聘考试 QQ 群：426
5、376361 教师网课程 第3页 客服电话:4006-01-9999 0.47471000.474747.47470.4747 (1001)0.4747=47 即 990.4747=47 那么 0.4747=47/99 规律：纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个 9 组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。（2）混循环小数如何化为分数 例 3：把 0.4777化成分数 解析：0.477710=4.777 0.4777100=47.77 用即得:0.477790=474 所以：0.4777=43/90 例 4：把 0.3256
6、56化成分数 解析：0.325656100=32.5656 0.32565610000=3256.56 用即得:0.3256569900=3256.565632.5656 0.3256569900=325632 所以：0.325656=3224/9900 规律：混循环小数，循环节有几个数字，分母就有几个 9，循环节前到小数点间有几位数字，分母 9 后面就有几个 0，分子是混循环数字减去循环节前数字的差。四、整除（包括封闭性、尾数规律、弃九法）一、整除 1.若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8，则这个数能被 2 整除。2.若一个整数的数字和能被 3(9)整除，则这个整数能被 3(9)整除。
7、例 1.设三位数 2a3 加上 326，得另一个三位数 5b9，若能被 9 整除，则 a+b 等于（）。A.2 B.4 C.6 D.8 答案C 解析因为要被 9 整除，必须是 549 才可以，所以 b=4；同理相减就得到 a=2。教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第4页 客服电话:4006-01-9999 3.若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。4.若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。5.若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。6.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是 7
8、的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例题 例 1.133 是否为 7 的倍数 答案：13327，所以 133 是 7 的倍数 例 2.6139 是否为 7 的倍数 答案：61392595，595249，所以 6139 是 7 的倍数。7.把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是 11 的倍数(包括 0),那么,原来这个数就一定能被 11 整除。例题 例 1.判断 491678 能不能被 11 整除.答案：491678 能被 11 整除.例 2.判
9、断以 下数字能否被 11 整除：42559；7295871 答案：（1）42559 能被 11 整除（2）42559 能被 11 整除 例 3.有一类数，每一个数都能被 11 整除，并且各位数字之和是 20，问这类数中，最小的数是_。答案：奇位数字的和 A，偶位数位的和 B，A+B=20，A-B=0，A=B=10 答案1199 解析根据被 11 整除的数的性质：奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被 11 整除（即=0.11.22）设奇数位数字的和=X，偶数位数字的和=Y；则有：X+Y=20（从此式看出 X.Y 同奇或同偶）X-Y=0（因 X.Y 同奇偶，差为偶数，又因为要求最小数，无需考虑差
10、=11.22等情况）解得 X=Y=10，则构造符合这个条件的最小的数，应是一个四位数，偶数位=1+9，奇数位 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第5页 客服电话:4006-01-9999=1+9：1199 8.一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小），能被 7、11、13 整除，这个数就能被 7、11、13 整除。例题 例 1.判断以下数字能否被 13 整除：76648；1127737 答案：5896；86749 五、封闭性 整数集对加、减、乘运算是封闭的。（即：对任意整数进行加、减、乘后结果依然是整数）。例题：例 1.2x13+为整数，其中
11、 X 也为整数，求 X 的值是多少？答案：22221313()()1313;17;6xnnxnx nxnxnxnx+=+=+=例2-23xxx2.为整数，其中 也为整数，求 的值？答案：n=11;x=12 六、弃九法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减计算的结果是否错误。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是 9，要减去 9 得 0），这个数就叫做原来数的弃九数。例如，3217：3+2+1+7=13（去掉 1 个 9）1+3=4（我们就称最后的 4 为弃九数）。1.验算加法 例 1.判断 851+346=1198 是否正确 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数，8
12、51 的弃九数是 5，346 的弃九数是 4，1198的弃九数是 1两个加数的弃九数相加得 4+5=9，弃掉 9 后是 0，而题目中和的弃九数是 1，可以说这道题一定错误。如果相等，则只能说明原来可能正确（正确概率约为 8/9）验算时，可采用下面的简便做法：教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第6页 客服电话:4006-01-9999 851+346=1198 因为 5+4 1 0 1（等号两边的弃九数不相同，所以原结果一定不正确）2.验算减法 1345732=613 因为 4-3=1（等号两边的弃九数相同，所以原结果很可能正确）又如：34132546=867 2-8=3（
13、不够减，被减数上加 9 再减）(2+9)-8=3（等号两边的弃九数相同，所以原结果很可能正确）例 2.判断 34132546867 是否正确 答案：2 8 3（不够减，被减数上加 9 再减）（29）83 （正确）3.可以验算乘法 要验算除法，需转化成乘法 例 3检验下面的乘法算式是否正确：468769537=447156412 被乘数的九余数是 4，乘数的九余数是 6，46=24，24 的九余数是 6，乘积的九余数是 7，67，所以这个算式不正确。例 4.验算 3356456715326852 是否正确？8432，32 的弃九数是 5；乘积的弃九数是 5，所以这个算式正确。七、常见的量 长度
14、面积 体积（容积）质量 时间 （1）常用的长度单位有千米、米、分米、厘米 和毫米。相邻单位间的进率是（1000/10）。（2）常用面积单位有平方米、平方分米 和 平方厘米。相邻单位间的进率是（100）。（3）常用地积单位有平方千米、公顷、公亩和平方米，相邻两个单位之间的进率是（100）。（4）常用体积单位有立方米、立方分米和立方厘米。相邻单位间的进率是（1000）。（5）计量液体时常用单位有升和毫升。相邻单位间的进率是（1000）。教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第7页 客服电话:4006-01-9999（6）常用质量单位有吨、千克和克。相邻单位间的进率是（1000）。
15、（7）常用的时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒。（8）常用货币单位元、角和分。相邻单位间的进率是（10）。第第三三讲讲 方程与不等式方程与不等式 2.2 方程（组）2.2.1 定方程 一、一元一次方程的概念 1.方程 含有未知数的等式叫做方程。2.方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。4.一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数（0ax0=+ba x叫
16、做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项。二、一元二次方程 1.一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式)0(02=+acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。3.一元二次方程的解法 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第8页 客服电话:4006-01-9999（1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方
17、法。直接开平方法适用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax+是 b 的平方根，当0b时，bax=+，bax=，当 b0)上存在极值，求实数 a 的取值范围 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第10页 客服电话:4006-01-9999 解析解：（）因为()1 ln xf xx+=，x0，则()2ln xfxx=当 0 x1 时，f（x）0；当 x1 时，f（x）0 所以 f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，所以函数 f（x）在 x=1 处取得极大值 因为函数 f（x）在区间(a，a+12)（其中 a0）上存在极值，所以 a1
18、 且 a+121，解得 12a1 3.已知函数+=)1(2)0(1)(2xckcxcxxfcx在区间(0，1)内连续，且89)(2=cf （1）求实数 k 和 c 的值；（2）解不等式182)(+xf 解：（1）因为01c，所以2cc，由29()8f c=，即3918c+=，12c=又因为4111022()1212xxxf xkx+=+在12x=处连续，所以215224fk=+=，即1k=（2）由（1）得：4111022()12112xxxf xx+=+得，当102x时，解得2142x 当112x 时，解得1528x+的解集为2548xx 4.记关于x的不等式01xax+的解集为P，不等式11
19、x 的解集为Q（I）若3a=，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围 解：（I）由301xx+，得13Pxx=，得1Pxxa=，即a的取值范围是(2)+，第第四四讲讲 集合集合 集合运算 一、关于集合的基本概念 1.集合 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 集合的性质：1.确定性 2.互异性 3.无序性 2.表示方法 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来写在 大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。例：A=1,2，B=0,2 描述法：常用于表示 无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。例：小于
20、 的正实数组成的集合表示为：x|0 x3 D.x|x1 解：集合A=312+xxx|x，则PQ等于（）A B1x x C1x x D1xx x1故选 C 3、设集合1,2A=,则满足1,2,3AB=的集合 B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8【解析】1,2A=，1,2,3AB=，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合1,2A=的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有224=个。故选择答案 C。4、设集合20Mx xx=，2Nx x=，则 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第14页 客服电话:4006-01-9999 AMN=BMNM=CMNM=
21、DMNR=解：20Mx xx=|01xx，2Nx x=|22xx+=xxRxA，利用二次不等式可得1|x画出数轴易得：3|=xxBA故选 D【答案】D 例 6、已知全集 U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合 A=0,1,3,5,8，集合 B=2,4,5,6,8，则)()(BCACUU为 A.5,8 B.7,9 C.0,1,3 D.2,4,6【答案】B【解析一】因为全集 U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合 A=0,1,3,5,8，集合 B=2,4,5,6,8，所以9,7,3,1,0,9,7,6,4,2=BCACUU，所以)()(BCACUU为7,9。故选 B 7、设 p
22、22,xxq 012xx+0，则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：p：22xx 01x2，q：1|2xx+0 x2 或1x2，故选 A 8、设集合30|=xxM，20|=xxN，那么“Ma”是“Na”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：设集合30|=xxM，20|x，求()f x的解析式 解：2)1()1(2+=+xxxxf，21+xx 2)(2=xxf )2(x 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第18页 客服电话:4006-01-9999 10.
23、已知xxxf2)1(+=+，求)1(+xf 解：令1+=xt，则1t，2)1(=tx xxxf2)1(+=+,1)1(2)1()(22=+=ttttf 1)(2=xxf)1(x xxxxf21)1()1(22+=+=+)0(x 3.1.2 函数的性质 一、函数的单调性 定义：一般地，设函数()yf x=的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量1,2,x x当12xx时，都有(1)(2)f xf x，那么就说()f x在区间 D上是增（减）函数。例 1：如果奇函数()f x在区间3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间7,3上是()A.增函数且最小值是5
24、 B.增函数且最大值是5 C.减函数且最大值是5 D.减函数且最小值是5 答案：A()+0,A.(+()(-)+(-)(+()(-)-(-)C.(+(-)()+(-)D.(+(-)()-(-)f xRa bf af bfafbf af bfa fbf afaf bfbf afaf b fb2.已知函数在 上是增函数，若则（）B.）答案：A 3.=sin333)2)4 44422yx 函数的一个单调增区间是（）A.(-，B.(，C.(，D.(，答案：C 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第19页 客服电话:4006-01-9999 4 4函数22()cos2cos2xf x
25、x=的一个单调增区间是（）A233，B6 2，C03，D6 6，解题思路：222()cos2coscoscos2xf xxxx=215(cos)24x=利用复合函数单调性:同增异减的原则结合二次函数与余弦函数的单调性特征逐个进行检验,选 A.二、函数的奇偶性 知识点归纳 1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.2奇偶函数的性质：定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；题型：抽象函数奇
26、偶性的判定与证明 例 1.是上的任意函数，下列叙述正确的是（C）是奇函数 是奇函数 是偶函数 是偶函数 解：据奇偶函数性质：易判定 f（x）f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数 f（x）|f（-x）|的奇偶取决于 f（x）的性质，只有 f（x）+f（-x）是偶函数正确。例 2.已知函数()f x对一切,x yR，都有()()()f xyf xf y+=+，（1）求证：()f x是奇函数；（2）若(3)fa=，用a表示(12)f 解：（1）显然()f x的定义域是R，它关于原点对称在()()()f xyf xf y+=+中，令yx=，得(0)()()ff xfx=+，令0 xy=，得
27、(0)(0)(0)fff=+，(0)0f=，()()0f xfx+=，即()()fxf x=，()f x是奇函数（2）由(3)fa=，()()()f xyf xf y+=+及()f x是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa=教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第20页 客服电话:4006-01-9999 例 3.设定义在-2,2上的偶函数)(xf在区间0,2 上单调递减，若)()1(mfmf，求实数m的取值范围。解：)()()()(xfxfxfxf=是偶函数，)()1(mfmf)()1(mfmf 又当2,0 x时，)(xf是减函数 211222121mmm
28、mm 21,1的的的的的的m 三、函数的周期性 定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使)()(xfTxf=+恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集 例 1.定义域是实数域的奇函数 f(x)，对任意实数都有 f(x)=f(x+2),则 f(2)+f(4)+f(6)+f(2008)+f(2012)+f(2014)=()答案：0(x)cos(2)()6.2.42xxRABCD=+例2.函数f的最小正周期 答案：B 例 3.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(xm)f(x),求证:2m 是 f(
29、x)的一个周期.证明：因为 f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm)f(x)所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数.四、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用 例 1.已知)(xf是周期为 4 的偶函数，当3,2x时，xxf=)(，求)5.1(),5.6(ff，)5.5(f 解：)()(xfxf=，)()4(xfxf=+5.2)5.2()5.24()5.6(=+=fff 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第21页 客服电话:4006-01-9999 5.2)5.2()45.1()5.1(=+=fff=)5.1(45.5()5.5(fff5.2)5.2(
30、)45.1()5.1(=+=fff 12122.0+()=()=sin()=()=2f xxf xxf xxf xx例 下列函数中，是奇函数并且在（，）上是减函数的是（）A.B.C.D.答案：D 第二章 函数图像与函数计算 五函数的图像 例 1ysinE2，0EA D.AE2，0E 答案：B 例 2已知函数x4的图象的一个对称中心是()A(，0)B.34，0 C.3()sin(0)f xx=+3的最小正周期为，则该函数的图象（）A关于点03，对称 B关于直线x=4对称 C关于点04，对称 D关于直线x=3对称 解题思路:由22T=,又正余弦函数在sin1xx+=满足时是其对称轴,将各个选项逐个
31、带入检验看其函数值是否为1+即可，选 A.六函数的计算 一、指数函数计算 MNMNaaa=/M NMNaaa=()NMMNaa=二、对数函数计算 logloglogaaaMNMN=+logloglogaaaMMNN=教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第22页 客服电话:4006-01-9999 loglog()naaMnMnR=logloglogcacbba=1、若四个幂函数yax，ybx，ycx，ydx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是()A、dcba B、abcd C、dcab D、abdc 答案：B 2、已知幂函数)(322Zmxymm=的图象
32、与 x,y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，求 m 的值。解：因为)(322Zmxymm=的图象与 x,y 轴都无交点，所以，0322 mm，所以，m 可取 0，1，2。因为)(322Zmxymm=的图象关于 y 轴对称 所以 m=1 3、已知 f(x)=1322+xxa,g(x)=522+xxa(a0 且 a1),确定 x 的取值范围,使得 f(x)g(x).解析：若 a1,则 x2 或 x3;若 0a1,则 2x3 4、设2()lg()1f xax=+是奇函数，则使()0f x 的x的取值范围是（）A(1,0)B(0,1)C(,0)D(,0)(1,)+A；解析 由10)0(=af得，011
33、lg)(+=xxxf，得+111011xxxx，01x。5、设,a b c均为正数，且11222112log,log,log,22bcaabc=则（）A.abc B.cba C.cab D.bac21a121log102aa 120log1b112b20log112cc ，从而abca，函数)(xf=xalog在区间2,aa上的最大值与最小值之差为21，则a=（）A2 B2 C22 D4 D；解析 由于1a，函数)(xf=xalog在区间2,aa上的最大值与最小值之差为21，那么aaaalog2log=21，即2loga=21，解得221=a，即a=4。7、2log81()2的值是（）答案：1
34、/64 8、函数()yf x=的图象与函数3log(0)yxx=的图象关于直线yx=对称，则()f x=_。()f x=3()xxR；解析 函数()yf x=的图象与函数3log(0)yxx=的图象关于直线yx=对 称，则()f x与 函 数3log(0)yxx=互 为 反 函 数，()f x=3()xxR。(1)求它的反函数；(2)求使 f-1(x)f(x)的实数 a 的值 解解(1)yxay(xa)3x1(y3)x1ayy3设，这里 ，31xxa+若 ，则 这与已知 矛盾，即反函数y3aaxf(x)113131313ayyaxx3x (2)f(x)f(x)x1若，即对定义域内一切 的值恒成
35、立，+3113xxaaxx 令 x0，a3 10、设点 M(1，2)既在函数 f(x)ax2b(x0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1(x)，(2)证明 f-1(x)在其定义域内是减函数 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第24页 客服电话:4006-01-9999 解证解证(1)2ab 14aba bf(x)x(x0)(2)yx(x0)f(x)(x)221由 得，由 得反函数1373137313737373x 设，即，故在，上是减函数xx73x73x0f(x)f(x)f(x)(121211121737337312xxx 第三章第三章 三角函数三角函数 一、
36、任意角的概念、弧度的意义 1.任意角 第一象限角：|2n2n+2,nZ 第二象限角：|2n+22n+,kZ 第三象限角：|2n+2n+23,kZ 第四象限角：|2n+232n+2,kZ 2.弧度制（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0（2）角 的弧度数的绝对值 rl=（l为弧长，r为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。二、基本三角函数 函 数 定 义 域 值 域 siny=R 1,1 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第25页 客服电话:4006-01-9
37、999 cosy=R 1,1 tany=|,2kkZ+R 1.sin在一二象限是正，三四象限为负 2.cos在一四象限为正，二三象限为负。216si n)62si n()390si n(=+=正余弦函数性质：(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。(2)均为周期函数 2。(3)正弦函数的是关于x=/2+n，nNP*P轴对称，关于(n+/2，0)nNP*P中心对称；余弦函数关于(n+/2，0)nNP*P中心对称，关于x=/2+n，nNP*P轴对称。2+n 与的三角函数的关系口诀：2 奇变偶不变，符号看象限 3.正余切函数 图像：y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4
38、-3-2-65432-11yx-11oxy 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第26页 客服电话:4006-01-9999 性质：a.均为奇函数（关于原点对称）。b.周期均是。c.正切函数的定义域是x|xn+2，nNP*P，关于x=n/2，nNP*P中心对称；余切函数的定义域是x|xn，nNP*P，关于x=n/2，nNP*P中心对称。4.求任意角三角函数 “奇变偶不变，符合看象限”常用数据:30456090、的三角函数值 角度 0 30 45 60 90 sin 0 1/2 2/2 3/2 1 cos 1 3/2 2/2 1/2 0 tan 0 3/3 1 3 不存在 2
39、.5.1.2 常用公式 一、基本函数关系 2sin+cos2=1 tan=cossin c ot a n=1 二、两角和与差公式 sisincoscos)cos(=+sisincoscos)cos(+=sicoscossin)sin(+=+sicoscossi n)si n(=t a nt a n1t a nt a n)t a n(+=+t a nt a n1t a nt a n)t a n(+=cosi n22si n=y=tanx y=cotx 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第27页 客服电话:4006-01-9999 2222si211cos2sincos2co
40、s=2t a n1t a n22t a n=1cos()sin2=,1cos()sin2+=1sin()cos2=1sin()cos2+=,1tan()cot2=,1tan()cot2+=例题 例1.若tan34=，则cot等于（）A2 B12 C12 D2 解题思路：tan3cottan()tan()24244=+=,选 A.练习题 21tan(),tan(),tan()5444+=+1.已知那么的值是 答案：322()3312,sin,sin(),45413cos()4+=+=2.已知则 答案：5665 例2.已知5sin5=，则44sincos的值为（）A15 B35 C15 D35 解
41、题思路：44222222sincos(sincos)(sincos)sincos=+=22sin1=35.选 B.3已知函数f(x)3sinP2Pxsinxcosx 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第28页 客服电话:4006-01-9999 求 f(256)的值 解题思路：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力 251253sin,cos6262=，2252525253sinsincos06666f=+=4.函数22()cos2cos2xf xx=的一个单调增区间是（）A233，B6 2，C03，D6 6，解题思路：222()cos2cos
42、coscos2xf xxxx=215(cos)24x=利用复合函数单调性:同增异减的原则结合二次函数与余弦函数的单调性特征逐个进行检验,选 A.5.若函数()2sin()f xx=+，xR（其中0，2）的最小正周期是，且(0)3f=，则（）A126=，B123=，C26=，D23=，解题思路:22T=,又(0)2sin3f=3=,选 D.6.设函数()()()cos30f xx=+,若()()/f xfx+是奇函数，则=_ 解题思路:()()()/()()cos33sin3F xf xfxxx=+=+,由(0)cosF=3sin06=7.函数sin 23yx=在区间2，的简图是（）yx112
43、3O6 yx112 3O6 yx112 3O6 yx2 6 1O13 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第29页 客服电话:4006-01-9999 解题思路:由特殊值法可判定，取06xx=、带入计算，选 A.8.已知ABC的周长为21+，且sinsin2sinABC+=求边AB的长；解题思路：由题意及正弦定理，得21ABBCAC+=+，2BCACAB+=，两式相减，得1AB=9.在三角形 ABC 中,已知 acosB=bcosA，试判断三角形 ABC 的形状。解题思路：由题意及余弦定理，得 所以是等腰三角形。10.在RABCR中，已知A、B、C成等差数列，且RBCA2c
44、ossinsin=R，R34=ABCSR，求三边a、b、c【答案】由已知，得R2CAB+=R，又由R=+180CBA=60B R故R4160cossinsin2=CAR 又由RBcaSABCsin2134=164334=acacR 故R64)sin()sin(sinsin22=CcAaCAac8sinsin=CcAa 由R3460sin8sin8sinsin=BABab 则R21260coscos222=+=acbcaB 即R964848)(3)(222=+=+=+caacbca 64=+caR 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第30页 客服电话:4006-01-999
45、9 把与联立，得 R)26(2),26(2=+=caR或R)26(2),26(2+=ca 第十三第十三讲讲-第十五第十五讲讲 数列数列 一、基本概念 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数+1nn数列的项、数列的项数表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（1）、（1）递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式 222有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第 项起，每一项都不小于它的前一项的数列数列分类递减数列：从第 项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数列：各项相等的数列摆动数列：从第 项起，有些项大于它
46、的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、等差数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差 1,2nnaad nnZ=且，或1,1nnaad nnZ+=且 1、若等差数列 na的首项是1a，公差是d，则有()()111111nmnnmnaandanm dknbaaaadnnmaand=+=+=+=+性质：教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第31页 客服电话:4006-01-9999 23 22,+npqnmnpqnmm kmkmknnnnnaaabnpqaaaamnpqaaaaaaaaaabaab+=+=+=+=+等差中项：三个数，
47、G，b组成的等差数列，则称G为 与b的等差中项2G=若是等差数列，则若是等差数列，则、构成公差公差kd的等差数列若、是等差数列 则、是等差数列 2、等差数列的前n项和的公式：()()121122nnn aan nSnadpnqn+=+=+等差数列的前n项和的性质：（1）()()()()()*211*212212111nnnnnnnnnnSSndn nSn aaSaSaSSannSnaSna SnaSnSn+=+=偶奇奇偶奇偶奇偶奇偶若项数为，则，若项数为，则，（2）232SSS,SSSmmmmmnn，成等差数列是等差数列 若等差数列na,nb的前 n 项和为,nnS T,则1212=nnnnT
48、Sba （3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若001da，则nS有最大值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足+001kkaa 若001da，则nS有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足+001kkaa 例题：3573,naaaa=1.在等差数列中，=7，则=答案：11 解析数列是等差数列，已知两项就可以求出首项与公差。345127 .?naaaaaaa+2.如果等差数列中，=12，那么=【答案】C 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第32页 客服电话:4006-01-9999【解析】173454412747()312,4,728
49、2aaaaaaaaaaa+=+=3.已知 na是等差数列，1010a=，其前 10 项和1070S=，则其公差d=（）23 13 13 23【答案】：D【分析】：1101011()105(10)704.2aaSaa+=+=1012.93aad=4等差数列na中，11a=，3514aa+=，其前n项和100nS=，则n=（）A.9 B.10 C.11 D.12 解析：选 58a+a18,A.36.5472D.144nB=n45.已知等差数列的前n项和为S，若a则S 为多少（）C.答案：C 2410()6.首项为的等差数列，从第 项起开始为正数，则公差的取值范围是 答案：833d 三、等比数列：从
50、第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比 1、通项公式及其性质 若等比数列 na的首项是1a，公比是q，则1111,nn mnmnn mnnmaa qa qaaqqaa=22232npqnmnpqkmm kmkmkaaGabnpqaaaamnpqaaaaaaaaq+=+=+=+=，G，b成等比数列，则称G为 与b的等比中项性质：若是等比数列，则、成公比的等比数列 2、前 n 项和及其性质 教师招聘考试 QQ 群：426376361 教师网课程 第33页 客服电话:4006-01-9999()()()11111111,(1)1,111111nnnnnnna qq
