1、第五章矩阵的特征值和特征向量考研数学线性代数新东方在线孟小玉基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5第五章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量一相似矩阵与矩阵的相似对角化二实对称矩阵的相似对角化三考研数学线性代数基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化1.相似重点2.相似对角化基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化1.相似重点（1 1）定义：定义：设A和B为n阶矩阵，如果存在可逆阵P，使1P APB，则称矩阵A与 B相似，记为AB，并称A到B的变
2、换为相似变换，称P为相似变换矩阵 基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化1.相似重点（2 2）性质：性质：性质性质 1 1：AB,A B有相同的特征多项式，进而有相同的特征值；性质性质 2 2：AB()()trtrAB；性质性质 3 3：ABAB.以上三条性质的本质都是两个相似矩阵有相同的特征多项式.性质性质 4 4：相似一定等价，进而有AB()()rrAB；基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化1.相似重点（2 2）性质：性质：性质性质 5 5：AB()()ffAB；性质性质
3、6 6：ABTTAB；性质性质 7 7：若A可逆，AB11AB；AB*AB 反推可以么？问题基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化1.相似重点（2 2）性质：性质：性质性质 8 8（传递性）：若AB，BC，则AC；性质性质 9 9：若A的属于特征值的特征向量为，则1P AP的属于特征值的特征向量为1 P.基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5【例例 5.5.8 8】已知三阶矩阵,A B相似，A的特征值为1,2,3，求2BE.基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5【例例 5.5.
4、9 9】已知矩阵10145140a A、00005000bB相似，求参数.ab、基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化重点2.相似对角化（1 1）定义：定义：若n阶矩阵A与对角阵 相似，即存在可逆矩阵P，使1 P AP，则称A可以相似对角化，简称可对角化 其中：12,n P，12n，1,2,iin是A的特征值，1,2,iin 是A的分别属于特征值i的n个线性无关的特征向量 基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化重点2.相似对角化（2 2）可对角化的条件：可对角化的条件：n阶矩阵A
5、可对角化A有n个线性无关的特征向量.（3 3）可对角化的判断：可对角化的判断：（I I）n阶矩阵A有n个不同的特征值A可对角化（）（）若i是A的in重特征值，则 A可对角化i对应in个线性无关的特征向量iirnnEA 基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5【例例 5.5.1010】判断下列矩阵是否可对角化（1）121030000;（2）121010003;（3）111222333.基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5【例例 5.5.1010】判断下列矩阵是否可对角化（1）121030000;（2）121010003;（3）111222333.令1112220333AE 基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5【例例 5.15.11 1】已知矩阵31202003aA和对角矩阵相似，求a.基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5二相似矩阵与矩阵的相似对角化小结1.相似重点2.相似对角化1）定义2）性质1）定义2）判定基础阶段 线性代数第章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量5实对称矩阵的相似对角化三新东方在线 孟玉
