1、能力升级练(三)不等式一、选择题1.不等式|x|(1-2x)0的解集为()A.(-,0)0,12B.-,12C.12,+D.0,12解析当x0时,原不等式即为x(1-2x)0,所以0x12;当x0,所以x0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.不能确定解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x)在-1,1上为增函数.所以x-1,1时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-20,解得b2.答案C3.若a,bR,且a+|b|0B.a3
2、+b30C.a2-b20D.a+b0解析由a+|b|0知,a|b|,当b0时,a+b0成立,当b0时,a+b0成立,所以a+bn0,则()A.-1m-1nB.m-n12nD.m2mn解析取m=2,n=1,代入各选择项验证A,C,D不成立.2-11,y1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值200解析由题意得22=lgx+lgy=lg(xy),所以xy=10000,则x+y2xy=200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y有最小值200.答案B6.设a0,若关于x的不等式x+ax-15在(1,+)上恒成立,则a的最小
3、值为()A.16B.9C.4D.2解析在(1,+)上,x+ax-1=(x-1)+ax-1+12(x-1)a(x-1)+1=2a+1(当且仅当x=1+a时取等号).由题意知2a+15.所以a4.答案C7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产()A.60件B.80件C.100件D.120件解析设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,总的费用是800x+x8元,由基本不等式得800x+x82800xx8=2
4、0,当且仅当800x=x8,即x=80时取等号.答案B8.(2023湖北孝感调研)“ab0”是“abb0,可知a2+b22ab,充分性成立,由aba2+b22,可知ab,a,bR,故必要性不成立.答案A9.已知0aNB.MNC.M=ND.不能确定解析因为0a0,1+b0,1-ab0,所以M-N=1-a1+a+1-b1+b=2-2ab1+a+b+ab0,即MN.故选A.答案A二、填空题10.已知不等式mx2+nx-1m0的解集为xx2,则m-n=.解析由已知得m1)的最小值为.解析y=x2+2x-1=(x2-2x+1)+2x-2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+3x-1=(x-1)+3x-
5、1+223+2.当且仅当x-1=3x-1,即x=3+1时,等号成立.答案23+213.已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.解析因为x0,y0,所以9-(x+3y)=xy=13x(3y)13x+3y22,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t0,则t2+12t-1080,所以(t-6)(t+18)0,又因为t0,所以t6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.答案6三、解答题14.(2023山东潍坊调研)函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1m+1n的最小值.解曲线y=a1-x恒过
6、定点A,x=1时,y=1,A(1,1).将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m0,n0),可得m+n=1,1m+1n=1m+1n(m+n)=2+nm+mn2+2nmmn=4,当且仅当nm=mn且m+n=1(m0,n0),即m=n=12时,取得等号.15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解要使f(x)-m+5在1,3上恒成立,故mx2-mx+m-60,则mx-122+34m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60.所以m67,则0m67.当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60.所以m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是m0m67或m0,又因为m(x2-x+1)-60,所以m6x2-x+1.因为函数y=6x2-x+1=6x-122+34在1,3上的最小值为67,所以只需m67即可.因为m0,所以m的取值范围是m0m67或m0.7
