1、能力升级练(二)平面向量与复数一、选择题1.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析i(1+i)2=i2i=-2,不是纯虚数,排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.答案C2.设z=11+i+i(i为虚数单位),则|z|=()A.12B.22C.32D.2解析因为z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i=1-i2+i=12+12i,所以|z|=122+122=22.答案B3.设a是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反B.a与
2、2a的方向相同C.|-a|a|D.|-a|a解析对于A,当0时,a与a的方向相同,当0时,a与a的方向相反,B正确;对于C,|-a|=|-|a|,由于|-|的大小不确定,故|-a|与|a|的大小关系不确定;对于D,|a是向量,而|-a|表示长度,两者不能比较大小.答案B4.(2023北京通州二模)已知非零向量a,b的夹角为60,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12B.1C.2D.2解析由题意得ab=|a|112=|a|2,又|2a-b|=1,|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4|a|2-2|a|+1=1,即4|a|2-2|a|=0,又|a|0,解得|a|=12.答案A5.
3、(2023河北石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为()A.3B.23C.56D.6解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得ab=0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=3,设向量a+b与a的夹角为,则cos=a(a+b)|a|a+b|=a2+ab|a|a+b|=|a|a+b|=32,又0,所以=6.答案D6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数满足a+b=c,则+m等于()A.5B.6C.7D.8解析由题意知(5,5)=(,m),即=5,m=5,故=5,m=1,+m
4、=6.答案B7.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.BCB.12ADC.ADD.12BC解析如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB=12(AC+AB)=122AD=AD.答案C8.(2023河北豫水中学质检)已知在RtABC中,BAC=90,AB=1,AC=2,D是ABC内一点,且DAB=60,设AD=AB+AC(,R),则=()A.233B.33C.3D.23解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为DAB=60,所以设D点的坐标为(m,3m)(m
5、0).AD=(m,3m)=AB+AC=(1,0)+(0,2)=(,2),则=m,且=32m,所以=233.答案A9.(2023福建普通高中质量检查)若复数z满足(1+i)z=|3+i|,则在复平面内,z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意,得z=(3)2+121+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,所以z=1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A.答案A二、填空题10.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.解析向量a,b不平行,a+2b0,又向量a+b与a+2b平行,则存在唯一的实数,使a+b=(a+2b)
6、成立,即a+b=a+2b,则得=,1=2,解得=12.答案1211.(2023陕西西安八校联考)若a+bii(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=.解析a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,a+bii(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,b=3,a=-4,则a-b=-7,故答案为-7.答案-712.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为.解析由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1),A,B,C三点共线,ABAC.2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.答案a+b=
7、213.(2023广东佛山二模)在RtABC中,B=90,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若AE=2EC,则DEAC=.解析如图,以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为AE=2EC,所以E13,43,所以DE=13,13,所以DEAC=13,13(-1,2)=-13+23=13.答案13三、解答题14.计算1+i1-i6+2+3i3-2i.解原式=(1+i)226+(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2=i6+6+2i+3i
8、-65=-1+i.15.(2023山东潍坊摸底)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.解(1)由mn=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0Ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B=4.由余弦定理得(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB=ccosB=122=22.7
