1、专题22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！一选择题（共15小题）1（2022葫芦岛一模）如图，抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点（12，0），有下列结论：abc0； a2b+4c0；25a10b+4c0；3b+2c0；其中所有正确的结论是（）ABCD【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线
2、解析式即可得结论；根据点（12，0）和对称轴方程即可得结论【解答】解：观察图象可知：a0，b0，c0，abc0，所以正确；当x=12时，y0，即14a+12b+c0，a+2b+4c0，a+4c2b，a2b+4c4b0，所以正确；因为对称轴x1，抛物线与x轴的交点（12，0），所以与x轴的另一个交点为（52，0），当x=52时，254a52b+c0，25a10b+4c0所以正确；当x=12时，a+2b+4c0，又对称轴：b2a=1，b2a，a=12b，12b+2b+4c0，b=85c3b+2c=245c+2c=145c0，3b+2c0所以错误或者当x1时，a+b+c0，cab，又b2a，a=12
3、b，c32b，2c3b，2c+3b0，结论错误故选：C2（2022恩施市一模）二次函数yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a），下列结论：abc0；4a+2b+c0；5ab+c0；若方程a（x+5）（x1）1有两个根x1和x2，且x1x2，则5x1x21；若方程|ax2+bx+c|1有四个根，则这四个根的和为8，其中正确的结论有（）ABCD【分析】抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c0，即可求解；x2时，y4a+2b+c0，即可求解；5ab+c5a4a5a0，即可求解；ya（x+5）（x1）+1，相当于由原抛物线yax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；若
4、方程|ax2+bx+c|1，即：若方程ax2+bx+c1，当ax2+bx+c10时，由韦达定理得：其两个根的和为4，即可求解【解答】解：二次函数表达式为：ya（x+2）29aax2+4ax5aa（x+5）（x1），抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c0，则abc0，故正确；函数在y轴右侧的交点为x1，x2时，y4a+2b+c0，故正确；5ab+c5a4a5a0，故错误；ya（x+5）（x1）+1，相当于由原抛物线yax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1x2，则5x1x21，正确；若方程|ax2+bx+c|1，即：若方程ax2+bx+c1，当ax2+bx+c10时，
5、用韦达定理得：其两个根的和为4，同理当ax2+bx+c+10时，其两个根的和也为4，故正确故选：D3（2022春崇川区校级期末）二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x21012yax2+bx+ctm22n且当x=12时，与其对应的函数值y0，有下列结论：函数图象的顶点在第四象限内；2和3是关于x的方程ax2+bx+ct的两个根；0m+n203，其中，正确结论的是（）ABCD【分析】根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；根据二次函数的对称性即可判断；根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围
6、即可判断【解答】解：根据图表可知：二次函数yax2+bx+c的图象过点（0，2），（1，2），对称轴为直线x=0+12=12，c2，当x=12时，与其对应的函数值y0，a0，b0，函数图象的顶点在第四象限内；正确；根据二次函数的对称性可知：（2，t）关于对称轴x=12的对称点为（3，t），即2和3是关于x的方程ax2+bx+ct的两个根，正确；对称轴为直线x=12，b2a=12，ba，当x=12时，与其对应的函数值y0，14a12b20，即14a+12a20，a83对称轴为直线x=12，二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，m）（2，n），mn，当x1时，mab+ca+a22a2，m+n4
7、a4，a834a4203，错误故选：B4（2022春东湖区校级期末）如图，已知二次函数yx2+bxc，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y4上，则下列说法：bc0；0b4；AB4；SABD8其中正确的结论有（）ABCD【分析】先由抛物线解析式得到a10，利用抛物线的对称轴得到b2a0，易得c0，于是可对进行判断；由顶点D在y轴右侧的直线l：y4上可得b的范围，从而可判断是否正确；由a1及顶点D在y轴右侧的直线l：y4上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB为定值，故可取b2进行计算，即可求得AB的长度及SABD的大小【解答】解：抛物线开口向
8、下，a10，抛物线的对称轴为直线x=b2a0，b0，而抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，则c0，bc0，故正确；由顶点D在y轴右侧的直线l：y4上可得：4(1)(c)b24(1)=4b24c+160c4164c004c+16160b2160b4正确；a1，该抛物线的开口方向及大小是一定的又顶点D在y轴右侧的直线l：y4上该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值，故可令b2则c3此时抛物线解析式为：yx2+2x+3由x2+2x+30得x11，x23故AB4正确；SABD4428故正确；综上，故选：D5（2022丹东）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C
9、，其对称轴为直线x2，结合图象分析如下结论：abc0；b+3a0；当x0时，y随x的增大而增大；若一次函数ykx+b（k0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；点M是抛物线的顶点，若CMAM，则a=66其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】正确，根据抛物线的位置判断即可；正确，利用对称轴公式，可得b4a，可得结论；错误，应该是x2时，y随x的增大而增大；正确，判断出k0，可得结论；正确，设抛物线的解析式为ya（x+1）（x5）a（x2）29a，可得M（2，9a），C（0，5a），过点M作MHy轴于点H，设对称轴交x轴于点K利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可【解答】解：抛
10、物线开口向上，a0，对称轴是直线x2，b2a=2，b4a0抛物线交y轴的负半轴，c0，abc0，故正确，b4a，a0，b+3aa0，故正确，观察图象可知，当0x2时，y随x的增大而减小，故错误，一次函数ykx+b（k0）的图象经过点A，b0，k0，此时E（k，b）在第四象限，故正确抛物线经过（1，0），（5，0），可以假设抛物线的解析式为ya（x+1）（x5）a（x2）29a，M（2，9a），C（0，5a），过点M作MHy轴于点H，设对称轴交x轴于点KAMCM，AMCKMH90，CMHKMA，MHCMKA90，MHCMKA，MHMK=CHAK，29a=4a3，a2=16，a0，a=66，故正确
11、，故选：D6（2022鹤峰县二模）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x2，直线yx+c与抛物线yax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：4a+b+c0；ab+c0；m（am+b）4a+2b（其中m为任意实数）；a1，其中正确的是（）ABCD【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c0，利用对称轴方程得到b4a，则4a+2b+cc0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当x1时，y0，于是可对进行判断；根据二次函数的性
12、质得到x2时，二次函数有最大值，则am2+bm+c4a+2b+c，即，m（am+b）4a+2b，于是可对进行判断；由于直线yx+c与抛物线yax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c5+c，然后把b4代入解a的不等式，则可对进行判断；【解答】解：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线的对称轴为直线x2b4a，4a+b+c4a4a+cc0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0）、（1，0）之间，即当x1时，y0，也就是ab
13、+c0，因此正确；对称轴为x2，x2时的函数值大于或等于xm时函数值，即，当x2时，函数值最大，am2+bm+c4a+2b+c，即，m（am+b）4a+2b，因此不正确；直线yx+c与抛物线yax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，x5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c5+c，而b4a，25a20a5，解得a1，因此正确；综上所述，正确的结论有，故选：C7（2022秋朝阳期中）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点（3，0），其对称轴为直线x=12，结合图象分析下列结论：abc0；3a+c0；当x0时，y随x的增大而增大；一元二次方程cx2+bx
14、+a0的两根分别为x1=13，x2=12；若m，n（mn）为方程a（x+3）（x2）+30的两个根，则m3且n2，其中正确的结论有（）个A2B3C4D5【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断由对称轴为直线x=12可得ab，根据抛物线经过点（3，0）可得6a+c0，再由a0可判断由图象对称轴及开口方向由抛物线经过（3，0）可得抛物线经过（2，0），进而可得bb24ac2a=3，b+b24ac2a=2，因为cx2+bx+a0的根为x=b+b24ac2c和x=bb24ac2c，将a与c的关系代入求解可判断将a（x+3）（x2）+30转化为抛物线与直线y3的交点可判断【解答】
15、解：抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线x=b2a=12，ba0，抛物线与y轴交点在x轴上方，c0，abc0，正确，符合题意抛物线经过点（3，0），9a3b+c0，ab，6a+c3a+3a+c0，a0，3a+c0，正确，符合题意由图象可得x12时，y随x增大而增大，错误，不符合题意由cx2+bx+a0可得方程的解为x=b+b24ac2c和x=bb24ac2c，抛物线yax2+bx+c经过（3，0），对称轴为直线x=12，抛物线与x轴另一个交点为（2，0），x3和x2是方程ax2+bx+c0的根，bb24ac2a=3，b+b24ac2a=2，6a+c0，c6a，b+b24ac2c=13，bb
16、24ac2c=12，正确，符合题意抛物线经过（3，0），（2，0），ya（x+3）（x2），将a（x+3）（x2）+30化为a（x+3）（x2）3，由图象得抛物线与直线y3交点在x轴下方，m3且n2，正确，符合题意故选：C8（2022河东区二模）已知抛物线yax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：2a+b0；1a23；对于任意实数m，a（m21）+b（m1）0总成立；关于x的方程ax2+bx+cn+10有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】由抛物线开口方向
17、判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范围，进而对所得结论进行推断【解答】解：抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）b2a=1，4acb24a=n2a+b0故正确抛物线与x轴交于点（1，0）ab+c0cba由知：2a+b0，即b2ac2aa3a又抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，2），（0，3）之间（含端点）2c323a31a23故正确抛物线yax2+bx+c开口向下a0又a（m21）+b（m1）am2+bmab（a0）令gam2+bmab关于m的二次函数gam
18、2+bmab开口向下若对于任意实数m，a（m21）+b（m1）0总成立故需判断b24a（ab）与0的数量关系由以上分析知：b2a（2a）24a（a+2a）0故正确由以上分析知：a0，b=2a，c=3a，n=4acb24a n=4a(3a)(2a)24a=4ab24a（cn+1）（2a）24a（3a+4a+1）4a0关于x的方程ax2+bx+cn+10有两个不相等的实数根故正确故选：D9（2022辽宁）抛物线yax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x1，直线ykx+c与抛物线都经过点（3，0）下列说法：ab0；4a+c0；若（2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1y2；方
19、程ax2+bx+c0的两根为x13，x21；当x1时，函数yax2+（bk）x有最大值其中正确的个数是（）A2B3C4D5【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论【解答】解：抛物线的开口方向向下，a0抛物线的对称轴为直线x1，b2a=1，b2a，b0a0，b0，ab0，的结论正确；抛物线yax2+bx+c经过点（3，0），9a3b+c0，9a32a+c0，3a+c04a+ca0，的结论不正确；抛物线的对称轴为直线x1，点（2，y1）关于直线x1对称的对称点为（0，y1），a0，当x1时，y随x的增大而减小1201，y1
20、y2的结论不正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线经过点（3，0），抛物线一定经过点（1，0），抛物线yax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为3，1，方程ax2+bx+c0的两根为x13，x21，的结论正确；直线ykx+c经过点（3，0），3k+c0，c3k3a+c0，c3a，3k3a，ka函数yax2+（bk）xax2+（2a+a）xax2+3axa(x+32)294a，a0，当x=32时，函数yax2+（bk）x有最大值，的结论不正确综上，结论正确的有：，故选：A10（2022济南二模）已知抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）经过点（2，0），其对称轴为直线x1，有下列结论：
21、c0；9a+3b+c0；若方程ax2+bx+c+10有解x1、x2，满足x1x2，则x12，x24；抛物线与直线yx交于P、Q两点，若PQ=66，则a1；其中，正确结论的个数是（）个A4B3C2D1【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b1）x+c0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利用PQ=66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定的结论不正确【解答】解：a0，抛物线yax2+bx+c的开口方
22、向向下抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），其对称轴为直线x1，由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）综上抛物线yax2+bx+c的大致图象如下：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），c0的结论正确；由图象可知：当2x4时，函数值y0，当x3时，y9a+3b+c0的结论正确作直线y1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，则x1，x2是方程ax2+bx+c1的两根，即方程ax2+bx+c+10的解为x1、x2，由图象可知：满足x1x2，则x12，x24，的结论正确；如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，则PHQ为等腰直角三角形，PHHQ，PQ=2HQ
23、y=ax2+bx+cy=xax2+（b1）x+c0设点P，Q的横坐标分别为m，n，m，n是方程ax2+（b1）x+c0的两根，m+n=1ba，mn=caHQ|mn|=(mn)2=(m+n)24mn=(1ba)24ca抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），其对称轴为直线x1，4a2b+c=0b2a=1b=2ac=8aHQ=(1+2aa)2+32PQ=66，2(1+2aa)2+32=66解得：a1或13的结论不正确；综上所述，正确结论有：，故选：B11（2022宁远县模拟）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴负半轴交于（12，0），对称轴为直线x1有以下结论：abc0；3a+c
24、0；若点（3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1y3y2；若方程a（2x+1）（2x5）1的两根为x1，x2且x1x2，则x11252x2；点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PMPN，则a的范围为a224其中结论正确的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决【解答】解：对称轴为直线x1，函数图象与x轴负半轴交于（12，0），x=b2a=1，b2a，由图象可知a0，c0，b2a0，abc0，故正确；由图可知，当x1时，yab+c0，a+2a+c0，即3a+c0，故正确；抛物
25、线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；又|31|4，|31|2，|01|1，y1y2y3；故错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（52，0），抛物线解析式为：ya（x+12）（x52），令a（x+12）（x52）=14，则a（2x+1）（2x5）1，如图，作y=14，由图形可知，x11252x2；故正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于32时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PMPN，即4acb24a32，ya（x+12）（x52）ax22ax54a，c=54a，b2a，4a(54)a(2a)24a32，解得：a23，故错误；故选：B12（2022惠城区二模）如图，已知抛物线yax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB2OC，则下列结论：abc0；4ac+2b1；a=14；当b1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得ANBM其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a0，b0，c0，从而可判断正确；由OB2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断正确；由抛物线与x轴的交点A（2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1x2=ca=（2）（2c）
