1、专题22.1 二次函数的定义【七大题型】【人教版】【题型1 二次函数的识别】1【题型2 由二次函数的定义求字母的值】3【题型3 二次函数的一般形式】4【题型4 判断二次函数的关系式】5【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】8【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】9【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】11【知识点1 二次函数的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式【题型1 二次函数的识别】
2、【例1】（2022秋香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（）y（x+1）2x2；y3x2+5；yx32x；yx21x+3A1个B2个C3个D4个【分析】根据二次函数的定义判断即可【解答】解：该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意；该函数是二次函数，故本选项符合题意；该函数不是二次函数，故本选项不符合题意该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A【变式1-1】（2022新城区校级模拟）观察：y6x2；y3x2+5；y200x2+400x；yx32x；yx21x+3；y（x+1）2x2这六个式子中二次函数有（）个A2B3C4D5【分析】根据二次函数的定义，判断
3、即可【解答】解：观察：y6x2；y3x2+5；y200x2+400x；yx32x；yx21x+3；y（x+1）2x2这六个式子中二次函数有：y6x2；y3x2+5；y200x2+400x，所以，共有3个，故选：B【变式1-2】（2022春西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（）y22x24x+3；y43x+7x2；y=1x23x+5；y（2x3）（3x2）；yax2+bx+c；y（n2+1）x22x3；ym2x2+4x3A1个B2个C3个D4个【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可【解答】解：y22x24x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；y43x+7x2，是二次
4、函数；y=1x23x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；y（2x3）（3x2）6x213x+6，是二次函数；yax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数；y（n2+1）x22x3，是二次函数；ym2x2+4x3，m可能等于0，不一定是二次函数只有一定是二次函数故选：C【变式1-3】（2022秋葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（）y=x2+2；yx23x；yx（x2+x+1）；y=11+x2；yx+x2A1个B2个C3个D4个【分析】根据二次函数的定义求解即可【解答】解：yx23x；yx+x2是二次函数，故选：B【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（202
5、2秋天津期末）若y（a+1）x|a+3|x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A1B5C1D5或1【分析】根据二次函数定义可得|a+3|2且a+10，求解即可【解答】解：函数y（a+1）x|a+3|x+3是关于x的二次函数，|a+3|2且a+10，解得a5，故选：B【变式2-1】（2022武山县校级一模）若函数y（m2+m）xm22m1是二次函数，那么m的值是（）A2B1或3C3D12【分析】让x的次数为2，系数不为0即可【解答】解：根据题意得：m22m1=2m2+m0，解得：m=3或1m0且m1，m3，故选：C【变式2-2】（2022秋莱芜区期中）若抛物线y=(m3)xm25m+8+2x3
6、是关于x的二次函数，那么m的值是（）A3B2C2D2或3【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可【解答】解：由题意得，m25m+82且m30，解得m12，m23，且m3，所以，m2故选：C【变式2-3】函数y（a5）xa2+4a+5+2x1，当a 时，它是一次函数；当a 时，它是二次函数【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答【解答】解：当y（a5）xa2+4a+5+2x1是一次函数时，a2+4a+51或a50，解得a2或a5，即当a2或5时，它是一次函数；当y（a5）xa2+4a+5+2x1是二次函数时，a2+4a+52且a50解得a1或a3即当a1或3时，它是
7、二次函数故答案是：2或5；1或3【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2022秋遂溪县校级期中）关于函数y（50010x）（40+x），下列说法不正确的是（）Ay是x的二次函数B二次项系数是10C一次项是100D常数项是20000【分析】根据形如yax2+bx+c是二次函数，可得答案【解答】解：y10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；D、常数项是20000，故D正确；故选：C【变式3-1】（2022秋新昌县期末）若二次函数y（2x1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b24ac 0（
8、填写“”或“”或“”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b24ac计算，判断与0的大小即可【解答】解：y（2x1）2+1，a4，b4，c2，b24ac16442160，故答案为【变式3-2】已知y（m2m）xm22m1+（m3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项【分析】根据二次函数定义可得m22m1=2m2m0，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项【解答】解：根据题意可得m22m1=2m2m0，解得：m1或m3，当m1时，二次函数为y2x24x+1，其二次项系数为2，一次项系数为4，常数项为1；当m3时，二次函
9、数为y6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y2x+1；（2）y2x2+1；（3）yx（2x）（4）y=12（x1）252；（5）y=83x2；（6）yx2（x1）1【分析】根据二次函数定义进行解答即可【解答】解：（1）y2x+1不是二次函数，是一次函数；（2）y2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；（3）yx（2x）x2+2x，是二次函数，二次项系数是1、一次项系数是2，常数项是0；（4）y=12（x1）252=12x2x+1252=12x
10、2x2，是二次函数，二次项系数是12、一次项系数是1，常数项是2；（5）y=83x2不是二次函数；（6）yx2（x1）1x3x21不是二次函数【题型4 判断二次函数的关系式】【例4】（2021秋龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（）A正方形的周长y与边长xB速度一定时，路程s与时间tC正方形的面积y与边长xD三角形的高一定时，面积y与底边长x【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定【解答】解：A、y4x，是一次函数，错误；B、svt，v一定，是一次函数，错误；C、yx2，是二次函数，正确；D、y=12hx，h一定，是一次函数，错误故选：C【变式4-1】（2022秋红山区校级月考）下列关系中
11、，是二次函数关系的是（）A当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C圆的面积S与圆的半径r之间的关系D正方形的周长C与边长a之间的关系【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可【解答】解：A、由题意可得：t=Sv是反比例函数，故此选项错误；B、ymx+b，当m0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；C、SR2，是二次函数，正确；D、C4a，是正比例函数，故此选项错误故选：C【变式4-2】（2022秋沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）设正
12、方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系A1个B2个C3个D4个【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断【解答】解：依题意得：yx2，属于二次函数关系，故符合题意；依题意得：y=12x（x1）=12x212x，属于二次函数关系，故符合题意；依题意得：y6x2，属于二次函数关系，故符合题意；依题意得：y120x，属于一次函数关系，故不符合题意；综上所
13、述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个故选：C【变式4-3】（2022秋海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EGEF，交CD于点G，设BF的长为x，EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（）A正比例函数B一次函数C二次函数D以上都不是【分析】先证明BEFCEG，可得CGEF，EGEF，CEGBEF，再根据勾股定理求解即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，EBFECG45，ACBD，EBEC，EFEG，BECFEG90，BEFCEG，BEFCEG（ASA），CGEF，EGEF，CEGBEF，BEG90，GEF90，FG22EF2，在R
14、tCFG中，FG2CF2+CG2，即FG2x2+（5x）22x210x+25，y=12EGEF=12EF2，y=14FG2=14（2x210x+25）=12x252x+254，y与x满足的函数关系是二次函数故选：C【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】（1） 理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；（2） 分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；（3） 列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】【例5】（2022秋天
15、津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）Ay2.4（1+2x）By2.4（1x）2Cy2.4（1+x）2Dy2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得【解答】解：根据题意得，y关于x的函数表达式是：y2.4（1+x）2故选：C【变式5-1】（2022秋大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备
16、进行两次降价如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（）Ay2（x+1）2By2（1x）2Cy（x+1）2Dy（x1）2【分析】利用增长率公式得到y2（1x）2【解答】解：根据题意得y2（1x）2，故选：B【变式5-2】（2022秋西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（）Ay60（1+x）2By60+60（1+x）+60（1+x）2Cy60（1+x）+60（1+x）2Dy60+60（1+x）【分析】设该厂第二季
17、度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，依题意得：y60+60（1+x）+60（1+x）2故选：B【变式5-3】（2022秋金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（）Aya（1+x）（1+2x）Bya（1+x）2Cy2a（
18、1+x）2Dy2x2+a【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），然后根据已知条件可得出函数关系式【解答】解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，则ya（1+x）（1+2x）故选：A【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】【例6】（2022秋肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）Ay20010xBy（20010x）（8060
19、x）Cy（200+10x）（8060x）Dy（20010x）（8060+x）【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（8060+x）元，每星期的销售量为（20010x），再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论【解答】解：每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，销售每件的利润为（8060+x）元，每星期的销售量为（20010x），每星期售出商品的利润y（20010x）（8060+x）故选：D【变式6-1】（2022秋朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量
20、就减少10千克设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）Ay（50+x40）（50010x）By（x+40）（ 10x500）Cy（x40）5005（ x50）Dy（50+x40）（5005x）【分析】直接利用销量每千克利润总利润，得出函数关系式即可【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y（50+x40）（5005x）故选：D【变式6-2】（2022秋西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则
21、y与x之间的函数关系式为（）Ay（30x）（200+10x）By（30x）（200+5x）Cy（30x）（20010x）Dy（30x）（2005x）【分析】设每本书降价x元，则每星期可售出（200+5x）本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式【解答】解：设每本书降价x元，则每星期可售出（200+x210）（200+5x）本，每星期售出此文学书的销售额y（30x）（200+5x）故选：B【变式6-3】（2022秋阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未
22、售出的由厂家负责处理）销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）Aw（99x）200+10（x50）Bw（x50）200+10（99x）Cw（x50）（200+x99510）Dw（x50）（200+99x510）【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润每件利润销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式【
23、解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则每件盈利（x50）元，每天可销售（200+99x510）件，根据题意得：w（x50）（200+99x510），故选：D【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】【例7】（2022秋交城县期中）如图，四边形ABCD中，ABAD，CEBD，CE=12BD若ABD的周长为20cm，则BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）AS=14x210x+100BS2x240x+200CSx220x+100DSx2+20x+100【分析】由ABADxcm，求得BD（202x）cm，CE（10x）cm，然后利用三角形
24、面积公式列出函数关系式并整理成二次函数的一般形式【解答】解：ABADxcm，且ABD的周长为20cm，BD（202x）cm，又CE=12BD，CE=12（202x）（10x）cm，SBCD=12BDCE=12（202x）（10x），整理，得：Sx220x+100，故选：C【变式7-1】（2022江夏区模拟）如图，在ABC中，ABAC，BC6，E为AC边上的点且AE2EC，点D在BC边上且满足BDDE，设BDy，SABCx，则y与x的函数关系式为（）Ay=1810x2+52By=4810x2+52Cy=1810x2+2Dy=4810x2+2【分析】过A作AHBC，过E作EPBC，则AHEP，由此
25、得出关于x和y的方程，即可得出关系式【解答】解：过A作AHBC，过E作EPBC，则AHEP，HC3，PC1，BP5，PE=13AH，BDDEy，在RtEDP中，y2（5y）2+PE2，x6AH23AH，y2（5y）2+(19x)2，y=1810x2+52，故选：A【变式7-2】（2022秋鄞州区期末）一副三角板（BCM和AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EFDE若MB4，设BEx，EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（）Ay23xBy23x+1Cyx（43x）Dy=12x（43x）【分析】根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到E
26、C边的高和EC的长，从而可以表示出EFC的面积【解答】解：作FHEC于点H，如右图所示，则FHE90，FEH+EFH90DEF90，DEB+FEH90，EFHDEB，在DEB和EFH中，B=FHEDEB=EFHDE=EF，DEBEFH（AAS），BEHF，BEx，HFx，MB4，B90，C30，BC43，ECBCBE43x，EFC的面积为是：12x(43x)，即y=12x(43x)，故选：D【变式7-3】（2022太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MFBM，与正方形ABCD的外角ADE的平分线交于点F设CMx，DF
27、M的面积为y，则y与x之间的函数关系式 【分析】在BC上截取CHCM，连接MH，则MCH是等腰直角三角形，BHMD，证出BHMMDF，12，由ASA证明BHMMDF，再根据三角形面积公式求解即可【解答】证明：四边形ABCD是正方形，CDBC，CCDA90ADE，DF平分ADE，ADF=12ADE45，MDF90+45135在BC上截取CHCM，连接MH，如图，则MCH是等腰直角三角形，BHMD，CHMCMH45，BHM135，1+HMB45，BHMMDF，FMBM，FMB90，2+BMH45，12在BHM与MDF中，1=2BH=MDBHM=MDF，BHMMDF（ASA），BHMD2x，y与x之间的函数关系式为y=12x（2x）=12x2+x故答案为：y=12x2+x
