1、专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】1【题型2 圆的有关概念】4【题型3 确定圆的条件】6【题型4 点与圆的位置关系】9【题型5 圆中角度的计算】12【题型6 圆中线段长度的计算】15【题型7 圆相关概念的应用】18【知识点1 圆的概念】定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以O点为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”定义：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合【题型1 圆的概念】【例1】（2022金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A圆既是轴对称图形又是中心对称图形B圆有
2、无数条对称轴C圆的每一条直径都是它的对称轴D圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得【解答】解：A圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B圆有无数条对称轴，正确；C圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C【变式1-1】（2022武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A4B9C5D13【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即32225，
3、故选：C【变式1-2】（2022杭州模拟）现有两个圆，O1的半径等于篮球的半径，O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）AO1BO2C两圆增加的面积是相同的D无法确定【分析】先由L2R计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可【解答】解：设O1的半径等于R，变大后的半径等于R；O2的半径等于r，变大后的半径等于r，其中Rr由题意得，2R+12R，2r+12r，解得RR+12，rr+12；所以RR=12，rr=12，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12O1的面积R2，变大后的面积=(R+12)2，面积增加
4、了(R+12)2R2R+14，O2的面积r2，变大后的面积=(r+12)2，面积增加了(r+12)2r2=r+14，Rr，R+14r+14，O1的面积增加的多故选：A【变式1-3】（2022浙江）如图，AB是O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设ABa，那么O的周长la计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2=12a=12l；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l313l；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l414l；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln1nl结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分
5、别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的1n请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系【分析】把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是ln（1na）=1nl，即每个小圆周长是大圆周长的1n；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较【解答】解：（2）13l；（3）14l；（4）1nl；1n；每个小圆面积（121na）2=14a2n2，而大圆的面积（12a）2=14a2即每个小圆的面积是大圆的面积的1n2【知识点2 与圆有关的概念】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条
6、直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022远安县期末）下列说法：弦是直线；圆的直径被该圆的圆心平分；过圆内一点P的直径仅有一条；弧是圆的一部分其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可【解答】解：弦是直线，错误，弦是线段圆的直径被该圆的圆心平分，正确过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条弧是圆的一部分，正确故选：B【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A1B4C10D11【分析】根据直径是圆中最长的弦
7、，判断即可【解答】解：一个圆的半径为5，圆中最长的弦是10，弦长不可能为11，故选：D【变式2-2】（2022嘉鱼县期末）如右图中有1条直径，有4条弦，以点A为端点的优弧有2条，有劣弧2条【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，O的半径为6，OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有4个【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，OAB的面积为18，可以求
8、出AB12，根据三角形面积可得OC32，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可【解答】解：解法一：过O作OCAB于C，则ACBC，设OCx，ACy，AB是O的一条弦，O的半径为6，AB12，OAB的面积为18，x2+y2=36122yx=18，则y=18x，x2+(18x)2=36，解得x32或32（舍），OC324，4OP6，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP5或6，P点有4个解法二：设AOB中OA边上的高为h，则12OA=18，即126
9、=18，h6，OB6，OAOB，即AOB90，AB62，图中OC32，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP5或6，P点有4个故答案为：4【知识点3 确定圆的条件】不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配
10、到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）ABCD均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径根据垂径定理知第块可确定半径的大小【解答】解：第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长故选：A【变式3-1】（2022春射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，3）、C（2，3）能确定一个圆（填“能”或“不能”）【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆【解答】解：B（0，3）、C（2，3），BCx轴，而点A（1，0）在x轴上，点A、B、C不共线，三个点A（1，0）、B（0，3）、C（2
11、，3）能确定一个圆故答案为：能【变式3-2】（2022西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1）【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）【变式3-3】（2022任城区校级月考
12、）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C（1）画出该轮的圆心；（2）若ABC是等腰三角形，底边BC16cm，腰AB10cm，求圆片的半径R【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于DBC16cm，BD8cm，AB10cm，AD6cm，设圆片的半径为R，在RtBOD中，OD（R6）cm，R282+（R6）2，解得：R=253cm，圆片的半径R为253cm【知识点4 点与圆的位置关系】
13、设O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr.【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋宜州区期末）如已知：如图，ABC中，C90，AC2cm，BC4cm，CM是中线，以C为圆心，以5cm长为半径画圆，则点A、B、M与C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当dR时，点在圆上；当dR时，点在圆外；当dR时，点在圆内【解答】解：根据勾股定理，有AB=42+22=25（cm）；CA2cm5cm，点A在O内，BC4cm5cm，点B在C外；由中线定理得：CM=5cmM点在C上【变式4-1】（2022春龙湖区校
14、级月考）O的面积为25cm2，O所在的平面内有一点P，当PO5cm时，点P在O上；当PO5cm时，点P在O内；当PO5cm时，点P在O外【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离【解答】解：因为圆的面积为25cm2，所以圆的半径为5cm当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在O上，此时OP5cm当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在O内，此时OP5cm当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在O外，此时OP5cm故答案分别是：PO5cm，PO5cm，PO5cm【变式4-2】（2022广东模拟）如图，已知A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）点P（m，n）是A上的一个
15、动点，则m2+n2的最大值为 36【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA5，OP=m2+n2，这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可【解答】解：作射线OA交O于P点，如图，圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），OA=32+42=5，OP=m2+n2，m2+n2是点P点圆点的距离的平方，当点P运动到P处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OPOA+AP5+16，则m2+n236故答案为：36【变式4-3】（2022秋金牛
16、区期末）如图A（3，0）动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为2【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BDAC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长【解答】解：过B作BDAC交x轴于D，C是OB的中点，OAAD，AC=12BD，当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，A（3，0），D（6，0），M（3，4），DM=(63)2+42=5，BD514，AC=12BD2，即线段AC的最小值为2；故答案为：2【题型5 圆中角度的
17、计算】【例5】（2022江宁区校级期中）如图，BDOD，AOC114，求AOD的度数【分析】设Bx，根据等腰三角形的性质，由BDOD得DOBBx，再根据三角形外角性质得ADO2x，则AADO2x，然后根据三角形外角性质得2x+x114，解得x38，最后利用三角形内角和定理计算AOD的度数【解答】解：设Bx，BDOD，DOBBx，ADODOB+B2x，OAOD，AADO2x，AOCA+B，2x+x114，解得x38，AOD180OADADO1804x18043828【变式5-1】（2022汉阳区校级月考）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E已知AB2DE，AEC25，求
18、AOC的度数【分析】求AOC的度数，可以转化为求C与E的问题【解答】解：连接OD，AB2DE2OD，ODDE，又E25，DOEE25，ODC50，同理CODC50AOCE+OCE75【变式5-2】（2022金牛区期末）如图，AB为O的直径，ADOC，AOD84，则BOC48【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到DA，利用三角形内角和定理可计算出A，然后根据平行线的性质即可得到BOC的度数【解答】解：ODOC，DA，AOD84，A=12（18084）48，又ADOC，BOCA48故答案为：48【变式5-3】（2022大丰市月考）如图，直线l经过O的圆心O，且与O交于A、B两点，点C在O上，且
19、AOC30，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与O相交于点Q是否存在点P，使得QPQO；若存在，求出相应的OCP的大小；若不存在，请简要说明理由【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上分这三种情况进行讨论即可【解答】解：根据题意，画出图（1），在QOC中，OCOQ，OQCOCP，在OPQ中，QPQO，QOPQPO，又AOC30，QPOOCP+AOCOCP+30，在OPQ中，QOP+QPO+OQC180，即（OCP+30）+（OCP+30）+OCP180，整理得，3OCP120，OCP40当P在线段OA
20、的延长线上（如图2）OCOQ，OQP（180QOC）12，OQPQ，OPQ（180OQP）12，在OQP中，30+QOC+OQP+OPQ180，把代入得QOC20，则OQP80OCP100；当P在线段OA的反向延长线上（如图3），OCOQ，OCPOQC（180COQ）12，OQPQ，P（180OQP）12，AOC30，COQ+POQ150，PPOQ，2POCPOQC，联立得P10，OCP1801501020故答案为：40、20、100【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022潮安区模拟）如图，在ABC中，C90，AB10若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则C的半径为（
21、）A53B8C6D5【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可【解答】解：如图，连结CD，CD是直角三角形斜边上的中线，CD=12AB=12105故选：D【变式6-1】（2022海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB2（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论【解答】解：O的周长为4，OD2，OCOD，CD，BEOC，EBDC，EBDD，BEDE，EO+EBOD2，故答案为：2【变式6-2】（2022龙湖区校级开学）如图，已知AB是O的直径，C是O
22、上的一点，CDAB于D，ADBD，若CD2cm，AB5cm，求AD、AC的长【分析】由直径AB5cm，可得半径OCOA=12AB=52cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长【解答】解：连接OC，AB5cm，OCOA=12AB=52cm，RtCDO中，由勾股定理得：DO=(52)222=32cm，AD=5232=1cm，由勾股定理得：AC=22+12=5，则AD的长为1cm，AC的长为5cm【变式6-3】（2022秋邗江区期中）如图，半圆O的直径AB8，半径OCAB，D为弧AC上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为E、F，求EF的长【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DE
23、OF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论【解答】解：连接ODOCAB DEOC，DFOA，AOCDEODFO90，四边形DEOF是矩形，EFODODOAEFOA4【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是
24、（保留）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的115，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了12，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（取3）【分析】（l）根据圆的周长公式：cxd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可（2）首先根据圆的周长公式：c元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较（3）求出乙的钱数，再用总钱数乙是钱数，可得结论【解答】解：（1）10
25、25（米），25220（米）故答案为：20米（2）10220（米），2022+3=8（米），824（米），2032+3=12（米），1226（米），方案B花坛周长：2（4+6）20（米），2020，方案B与A周长一样，用的材料一样（3）乙的钱数=1152（51）2010320（元）甲的钱数2010320280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元【变式7-1】（2022南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米A51B102C153D204【分析】首先根据圆的周长公式Cd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每
26、分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可【解答】解：前轮的底面圆周长：1.71.7（米），1.7610102（米）故选：B【变式7-2】（2022罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长51.81m（3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得【解答】解：422（cm），723.5（cm），胶带的体积是：（3.5222）18.25cm38.25106（m3），一米长的胶带的体积是：0.01151055107（m3），因而胶带长
27、是：（8.25106）（5107）51.81（m）故答案为：51.81【变式7-3】（2022张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010cm后才停下来则这只蚂蚁停在点E【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010cm是走了多少周，即可确定【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8+412cm，蚂蚁直到行走2010cm所转的周数是：2010121676即转167周以后又走了6cm从A到B得路长是：2，再到C的路线长也是2，从C到D，到E的路线长是2，则从A行走6cm到E点故答案是：E
