1、专题24.4 圆周角定理【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】2【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】5【题型3 直径所对的圆周角是90的运用】9【题型4 翻折中的圆周角的运用】13【题型5 利用圆周角求最值】18【题型6 圆周角中的证明】22【题型7 圆周角中的多结论问题】28【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】32【题型9 圆周角与量角器的综合运用】37【题型10 利用圆周角求取值范围】40【知识点1 圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同
2、弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022鼓楼区校级模拟）如图，CD是O的直径，O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且ABC78，则AOD的度数为（）A12B22C24D44【分析】利用圆周角定理求出AOC156，可得结论【解答】解：AOC2ABC，ABC78，AOC156，AOD180AOC24，故选：C【变式1-1】（2022温州）如图，AB，AC是O的两条弦，ODAB于点D，OEAC于点E，连结OB，OC若DOE
3、130，则BOC的度数为（）A95B100C105D130【分析】根据四边形的内角和等于360计算可得BAC50，再根据圆周角定理得到BOC2BAC，进而可以得到答案【解答】解：ODAB，OEAC，ADO90，AEO90，DOE130，BAC360909013050，BOC2BAC100，故选：B【变式1-2】（2022蓝山县一模）如图，点A，B，C在O上，140，C25，则B（）A100B70C55D65【分析】根据圆周角定理得出BOC2180，根据三角形内角和定理得出1+B+ADB180，C+BOC+ODC180，求出1+BBOC+C即可【解答】解：设OB交AC于D，140，BOC2180
4、，1+B+ADB180，C+BOC+ODC180，ADBODC，1+BBOC+C，C25，40+B80+25，B65，故选：D【变式1-3】（2022春汉阳区校级月考）如图，AB，CD为O的两条弦，若A+C120，AB2，CD4，则O的半径为（）A25B27C2153D2213【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明AOB+COD90，在O上点D的右侧取一点E，使得DEAB，过点E作ETCD交CD的延长线于点T，则AB=DE，利用勾股定理求解即可【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，OD，BOC2CAB，AOD2ACD，CAB+ACD120，BOC+AOD240，AOB+COD120，在O上
5、点D的右侧取一点E，使得DEAB，过点E作ETCD交CD的延长线于点T，则AB=DE，AOBDOE，COE120，CDE120，EDT60，DEAB2，DT1，ET=3，CTCD+DT4+15，CE=CT2+ET2=52+(3)2=27，作OFCE，则COF60，CF=7，OCOE=732=2213，故选：D【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022保亭县二模）如图，AB为O的直径，点C、D在圆上，CEAB于点E，若D48，则1（）A42B45C48D52【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AD48，ACB90，求出ABC，根据垂直求出CEB，再求出1即可【解答】解：连接A
6、C，由圆周角定理得：AD，D48，A48，AB是O的直径，ACB90，ABC90A42，CEAB，BEC90，190ABC48，故选：C【变式2-1】（2022南充）如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，OFBC于点F，BOF65，则AOD为（）A70B65C50D45【分析】先根据三角形的内角和定理可得B25，由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得结论【解答】解：OFBC，BFO90，BOF65，B906525，弦CDAB，AB为O的直径，AC=AD，AOD2B50故选：C【变式2-2】（2022十堰二模）如图，在RtABC中，ACB90，A54，以BC为直径的O交AB于点DE是O
7、上一点，且CE=CD，连接OE过点E作EFOE，交AC的延长线于点F，则F的度数为（）A92B108C112D124【分析】连接OD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出DOCEOC，根据直角三角形的两锐角互余得出B90A36，根据圆周角定理求出DOC2B72，求出EOCDOC72，再根据四边形的内角和等于360求出即可【解答】解：解法一、连接OD，CD=CE，DOCEOC，ACB90，A54，B90A36，DOC2B72，EOCDOC72，OEEF，OEF90，ACB90，BCF90，F360OEFBCFEOC360909072108；解法二、ACB90，A54，B90A36，DC=CE，COE
8、2B72，OEEF，OEF90，ACB90，BCF90，F360OEFBCFEOC360909072108；故选：B【变式2-3】（2022本溪模拟）如图，在O中，AB=BC，直径CDAB于点N，P是AC上一点，则BPD的度数是 30【分析】连接OA、OB，如图，先根据垂径定理得到AC=BC，所以AB=BC=AC，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOCBOCAOB120，所以BOD60，然后根据圆周角定理求解【解答】解：连接OA、OB，如图，CDAB，AC=BC，AB=BC，AB=BC=AC，AOCBOCAOB=13360120，BOD18012060，BPD=12BOD30故答案为：30【题型3
9、 直径所对的圆周角是90的运用】【例3】（2022中山市三模）如图，AB是O的直径，若AC2，D60，则BC长等于（）A4B5C3D23【分析】根据圆周角定理得出ACB90，CABD60，求出ABC90CAB30，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB2AC4，再根据勾股定理求出BC即可【解答】解：AB是O的直径，ACB90，D60，CABD60，ABC90CAB30，AC2，AB2AC4，BC=AB2AC2=4222=23，故选：D【变式3-1】（2022潍坊二模）如图，已知以ABC的边AB为直径的O经过点C，ODAC交O于点D，连接BD若BAC36，则ODB的度数为（）A32B27C24
10、D18【分析】设AC与OD相交于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得ACB90，从而求出ABC54，再根据垂直定义可得AEO90，从而可得ODBC，然后利用等腰三角形和平行线的性质可得BD平分ABC，即可解答【解答】解：设AC与OD相交于点E，AB是O的直径，ACB90，BAC36，ABC90BAC54，ODAC，AEO90，AEOACB90，ODBC，ODBDBC，ODOB，ODBOBD，OBDDBC=12ABC27，ODBOBD27，故选：B【变式3-2】（2022江夏区校级开学）如图，O的直径AB为8，D为AC上的一点，DEAC于点E，若CE3AE，BAC30，则DE的长是（）A85B1
11、32C3D32【分析】在30的直角三角形ABC中求出AC43，根据CE3AE得到AE=3，再分别求出DF、ME、MF的长度即可得解【解答】解：如图，连接连接BC、OD，作OFDE，交DE的延长线于点F，DF、AB交于点MAB为直径，ACB90，又BAC30，BC4，AC43，CE3AE，AE=3，DEAC，BAC30，EM1，AM2，OMOAAM422，在RtOMF中，OFM90，OMFAME903060，OM2，MF1，OF=3，F90，DF=OD2OF2=423=13，DEDFMEMF=132故选：B【变式3-3】（2022秋如皋市校级期中）在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦A
12、C翻折交AB于点D，连接CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC25，求DCA的度数【分析】（1）过点O作OEAC于E，由垂径定理可知AE=12AC=1221，根据翻折后点D与圆心O重合，可知OE=12r，在RtAOE中，根据勾股定理可得出r的值；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到ADC所对的圆周角，然后根据ACD等于ADC所对的圆周角减去CD所对的圆周角，计算即可得解【解答】解：（1）如图1，过点O作OEAC于E则AE=12AC=1221，翻折后点D与圆心O重
13、合，OE=12r，在RtAOE中，AO2AE2+OE2，即r212+（12r）2，解得r=233；（2）连接BC，AB是直径，ACB90，BAC25，B90BAC902565，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为B，ABC所对的圆周角为ADC，ADC+B180，BCDB65，DCACDBA652540【题型4 翻折中的圆周角的运用】【例4】（2022春福田区校级月考）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E若BE=DE，则BCD的度数是（）A22.5B30C45D60【分析】证明CAB3，利用三角形内角和定理求出，可得结论【解答】解：设A
14、BC，则DE，CD，AC的度数都为2，BD的度数4，翻折，BD的度数4，CB的度数2+46，CB的度数+AC的度数180，2+6180，22.5BD的度数90BCD45故选：C【变式4-1】（2022秋萧山区期中）如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若BAC25，则BDC的度数为（）A45B55C65D70【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆P，根据圆周角定理得出BC=DC，求出BDCDBC，根据圆周角定理求出ACB90，再求出ABC即可；解法二、过D作DEAC于E，延长DE交O于F，连接AF、CF、BC，根据圆周角定理得出ACB90，根据翻折
15、变换得出FACBAC25，DCAFCA，根据圆内接四边形的性质得出BAF+BCF180，求出ACF40，求出ACDACF40，再根据三角形的外角性质求出即可【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆P则O和P为等圆，BAC在O和P中分别对应弧BC和弧DC，BC=DC（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），BCDC，BDCDBC，AB为O直径，DBC90BAC65，BDC65；解法二、过D作DEAC于E，延长DE交O于F，连接AF、CF、BC，AB是O的直径，ACB90，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，BAC25，FACBAC25，DCAFCA，点A、F、C、B四点共圆，BAF+
16、BCF180，25+25+90+ACF180，解得：ACF40，即ACDACF40，BAC25，BDCBAC+ACD25+4065，故选：C【变式4-2】（2022秋硚口区期末）如图，AB为O的一条弦，C为O上一点，OCAB将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D若D为翻折后弧AB的中点，则ABC（）A110B112.5C115D117.5【分析】如图，连接OA，OB，BD设DABx用x表示出BDC，BCD，DBC，利用三角形内角和定理，构建方程求解【解答】解：如图，连接OA，OB，BD设DABxAD=BD，DADB，BD=BC，BDCD，DABDBAx，BDCBCDDAB+ABD
17、2x，OCAB，OCADABx，OAOCOB，OCBOBC3x，OADOCAx，OABOBA2x，OBDx，CBD4x，在BDC中，BDC+DCB+DBC180，2x+2x+4x180，x22.5，ABC5x112.5，故选：B【变式4-3】（2022秋丹江口市期中）已知O的直径AB长为10，弦CDAB，将O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B，若AB6，CB的长为（）A45B25或45C25D25或43【分析】分点B在线段AB上，点B在BA延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求MB的长度【解答】解：如图1中：当点B在线段AB上，连接OCAB10，AB6，AOBO5OC，BB4，BO1，B，B
18、关于CD对称，BEBE2，OEOB+EB3，在RtOCE中，CE2OC2OE225916，在RtBCE中，BC=EC2+EB2=42+22=25若点B在BA的延长线上，连接OC，AB6，AB10，BB16，AOBOOC5，B，B关于CD对称，BEBE8，OEBEBO3，在RtCEO，CE2CO2OE225916，在RtBCE中，BC=EC2+EB2=16+82=45，综上所述BC25或45，故选：B【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022瑶海区三模）如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，MAB20，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN2，则PMN周长的最小值为（）A4B5
19、C6D7【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N，连接MN交AB于P，此时PM+PN最小，即PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N，则点N在O上，连接MN交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PNMN，点N是BM的中点，BAM20，MN=NB=BN，BAN10，MAN20+1030，MON60，MON是正三角形，OMONMN=12AB4，又MN2，PMN周长的最小值为2+46，故选：C【变式5-1】（2022陈仓区一模）如图，ABC中，ABC45，ACB75，AB4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画O
20、，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 6【分析】如图，由题意当ADBC时，O的半径最小，因为EAF60，是定值，所以此时EF的值最小【解答】解：如图，ABC45，ACB75，BAC180754560，由题意当ADBC时，O的半径最小，EAF60，是定值，此时EF的值最小，过OD的中点K作MNAD交O于M、N，连接ON、AN、AM，则AMN是等边三角形，在RtABD中，ABC45，AB4，ADBD22，OKKD=22，ON=2，在RtONK中，NKKM=ON2OK2=62，MN=6，EAFMAN60，EF=MN，EFMN=6，EF的最小值为6，故答案为：6【变式5-2
21、】（2022秋大连期末）如图，AB是O的直径，AB2，点C在O上，CAB30，D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A1B2C3D2【分析】作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD的长度，根据已知易证COD90，然后利用勾股定理进行计算即可解答【解答】解：作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，DEDE，CE+DECE+DECD，CAB30，COB2CAB60，D为BC的中点，CD=DB，DB=BD，CD=DB=DB，CODDOBBOD30，COD90，AB2，OCOD1，CD=OC
22、2+OD2=12+12=2，CE+DE最小值为：2，故选：B【变式5-3】（2022杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32，BCAB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为34【分析】取BC的中点G，连接BH，HG，DG解直角三角形求出GH，DG，根据DHDGGH即可判断【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG四边形ABCD是矩形，ABCD=32，BCAB2=94，DCG90，CGBG=98，DG=CD2+CG2=(32)2+(98)2=158，BE是直径，BHEBHC90，BGGC，HG=12BC=98，DHDGHG，DH158
23、98=34，DH的最小值为34故答案为34【题型6 圆周角中的证明】【例6】（2022秋定陶区期末）如图1在O中ABAC，ACB70，点E在劣弧AC上运动，连接EC，BE，交AC于点F（1）求E的度数；（2）当点E运动到使BEAC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交O于点M，依据题意在备用图中画出图形并证明：G为DM的中点【分析】（1）求出A40，利用圆周角定理解决问题即可；（2）证明BDBM，BGDM，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可【解答】（1）解：如图1中，ABAC，ABCACB70，BAC18027040，弧BC弧BC，BECBAC40；（2）证明：依据题意画图如下
24、：连接BM，CMABAC，AB=AC，又AM=AM，BM=CM，BMCM，AMBC，BAMCAM20，MBCCAM20，BEAC，AMBC，BGDAFD90，BDGADF70，AB=AB，BMAACB70，BMABDG70，BDBM，又BGDM，GDGM，即点G为DM的中点【变式6-1】（2022春金山区校级月考）已知CD为O的直径，A、B为O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且B30（1）求证：D30；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DFAG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；（2）结论：AF2CH延长DC到T，使得CTCO，证明CGTOFA（SAS），推出AFGT，再利用三角形中位线定理证明【解答】（1）证明：ABC30，又DABC，D30；（2）解：结论：AF2CH理由：延长DC到T，使得CTCOAOC2ABC60，OA
