2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试数学理试题 PDF版.rar

理科数学试卷 第 1 页 共 1 页 绝密绝密启用前启用前 2020 年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学 2020.1 本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内.2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1已知集合2|230Ax xx，|lg1Bxx，则集合RAB A(0,10)B C0,10 D0,1 2.若复数234aii为纯虚数，i是虚数单位,则实数a A32 B32 C83 D83 理科数学试卷 第 2 页 共 2 页 3.下表是某城市在 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温（C）的数据表：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温-12-3 1-2 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论错误的是 A最低温与最高温为正相关 B.每月最低温与最高温的平均值在前 8 个月逐月增加 C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D.1 至 4 月温差（最高温减最低温）相对于 7 至 10 月，波动性更大 4.设函数22()sincosf xxx,则下列结论正确的是 A()f x 的最小正周期为2 B()f x的一个零点为34 C()f x在2，上单调递增 D()f x的图像关于直线54x对称 5.函数 xxxxfln1的图象大致是 6设、表示三个不同的平面，m、n、l表示三条不同的直线，则的一个充分条件是 A，B,m n C.l，m、n，lm，ln D/,mm 理科数学试卷 第 3 页 共 3 页 7.已知为圆周率，e为自然对数的底数，则 A3ee B2233ee C.3log3logee D3loglogee 8.已知双曲线)0,0(,12222babyax的左、右焦点分别为21,FF，过2F的直线交双曲线右支于,P Q两点，且1PQPF，若|43|1PFPQ，则该双曲线离心率e A103 B105 C173 D375 9.设抛物线2:(0)C xpy p焦点为F，点M在C上，且=3MF，若以MF为直径的圆过点(2,0)，则C的方程为 A24xy 或 28xy B22xy 或 24xy C24xy 或 216xy D22xy 或 216xy 10“31N 猜想”是指对于每一个正整数n，若n为偶数，则让它变成2n；若n为奇数，则让它变成31n.如此循环，最终都会变成 1，若数字 4、5、6、7、8 按照以上的规则进行变换，则变换次数为偶数的概率是 A.45 B.35 C.25 D.15 11 在三棱锥PABC中，ABC与PBC均为边长为 1 的等边三角形，PA BC，四点在球O的球面上，当三棱锥PABC的体积最大时，则球O的表面积为 A.53 B2 C5 D.203 12.设曲线1:1(0)x mCyem上一点11(,)A x y，曲线2:lnCyx上一点22(,)B xy，当12yy时，对于任意1x、2x，都有2ABe恒成立，则m的最小值为 A.1 Be C1e D.21e 理科数学试卷 第 4 页 共 4 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.设,a b c 是单位向量，ca，cb，,a b 的夹角为60，则+=a b c 14.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(,)x y；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(,)x y的个数m；最后再根据统计数m来估计的值假如统计结果是=60m，那么可以估计_ 15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”。早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球。1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则。人们称这一天是现代足球的诞生日。如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱。已知足球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 个，该足球表面的棱为 条.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）16.已知等差数列na中，首项1=2a，公差0d，若123.nkkkkaaaa，成等比数列，且123=1=3=11kkk，则数列 nk的通项公式是 理科数学试卷 第 5 页 共 5 页 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 22222323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（12 分）ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足(cos3cos)(3)cosaBCcbA（1）求cb的值；（2）若角2=3C，4a，求ABC的周长 18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ABCD是平行四边形，=2AC ABAD，ACBD、交于点O，E是PB上一点.（1）求证：ACDE；（2）已知二面角APBD的余弦值为34，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所 成角的正弦值.理科数学试卷 第 6 页 共 6 页 19（12 分）在新中国成立七十周年之际，赤峰市某中学的数学课题研究小组，在某一个社区设计了一个调查：在每天晚上 7:3010:00 共 2.5 小时内，居民浏览“学习强国”的时间。如果这个社区共有成人按 10000 人计算，每人每天晚上 7:3010:00 期间打开“学习强国APP”的概率均为p（某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p 学习时长调查总时长，01p），并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中 100 名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min)，得到下面的频数表：学习时长/min 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间.（1）试估计p的值；（2）设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.求X的数学期望()E X和方差()D X；若随机变量Z满足XE XZD X,可认为(0,1)ZN.假设当49505100X时,表示社区处于最佳的学习氛围,试由此估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数).附附:若2(,)ZN,则0.6827,220.9545,PZPZ330.9973.PZ 理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(6,0)A和(2,1)B.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过(1,0)P的直线MN交椭圆E于M，N两点，若,m n分别为BM BN 的最大值和最小值，求+m n的值.21（12 分）已知函数2()+ln(1)1xef xax axx，a为常数，当(1,3)x时，()f x有三个极值点123,x x x（其中123xxx）.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：1 313.x xxx 理科数学试卷 第 8 页 共 8 页（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.（10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为243cos2，以极点为原点，以极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点,A B P为直线AB上任意一点，点Q在射线OP上运动，且2OPOQ.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求点Q轨迹围成的面积.23.（10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 设函数()3,f xxmxm mN，存在实数x，使得()4f x 成立.（1）求不等式()2f xx的解集；（2）若3,3ab，且满足()()12f af b，求证：41910ab. 理科数学答案 第 1 页 共 1 页 2020 年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学参考答案 2020.1 说明：说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 1.1.A A ；2 2.D D；3 3.B B ；4 4.B B；5 5.C C ；6 6.D D；7 7.C.C；8 8.C C ；9 9.A A ；1010.B B；1111.A A ；1212.D D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.132；14.165（或写成3.2）；15.12,90；162121()3nnknN.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(12 分)解：（1）由题设及正弦定理得 sincos3cossin3sincossincosABCACABA2 分 整理得 sincos+sincos3sincos+3cossinABBACACA sin()3sin()ABCA 4 分 180ABC，sin3sinCB，由正弦定理得3cb 6 分（2）由已知及余弦定理得 22224cos32 4bcb 8 分 3cb，2224912 42bbb ，理科数学答案 第 2 页 共 2 页 2240bb，1+33=4b 10 分 ABC的周长为13344=445334abcb12 分 18.(12 分)（1）PD 平面ABCD，PDAC，又四边形ABCD为菱形，BDAC，又BDPDD，AC 平面PBD DE 平面PBD，ACDE5 分（2）连OE，在PBD中，/OEPD，OE 平面ABCD 分别以OA，OB，OE 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设PDt，则1,0,0A，0,3,0B，1,0,0C，0,0,2tE，0,3,Pt.7 分 由（1）知，平面PBD的一个法向量为11,0,0n 设平面PAB的一个法向量为2,nx y z，则 2200nABnAP ，即3030 xyxytz ，令1y，则22 33,1,nt，9 分 二面角APBD的余弦值为34，12233cos,34124n ntt 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 设EC与平面PAB所成角为，31,0,2EC ，22 33,1,3n，2332 33sincos,131394134144323EC n 12 分 19.(12 分)解：（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为：55 0.1+65 0.2+75 0.4+85 0.2+95 0.1=75（min），而调查总时长为 150（min）,故7511502p.5 分（2）根据题意，1(10000,)2XB.故111100005000,=(1)100002500222E XnpD Xnpp.7 分 50001=100502500XZX，当49505100X时，12Z，(0,1)ZN，0.95450.682712=20.9545=0.8186.2PZPZ 故49505100=120.8186.PZPZ 10 分 所以估计，该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为 150 0.8186123(min).12 分 20.(12 分)解：（1）由椭圆2222:1xyEab的右顶点为(6,0)A，得26a 2 分 又椭圆2222:1xyEab过点(2,1)B，则24611b，解得23b 椭圆E的标准方程为22163xy.5 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页（2）当直线MN斜率存在时，设MN的方程为11221,yk xM x yN xy，由221631xyyk x得222216xkx，即2222124260kxk xk，6 分 1,0在椭圆内部，0，212221 124.1226.21kxxkkx xk 7 分 12122211BMBNxxyy 1212122411x xxxkxkkxk，22212121225kx xkkxxkk8 分 将代入得 222222226412252121kkBM BNkkkkkkk ，tBM BN ，22152121kktk 9 分 2152210,t kktkR ，224 15210tt 215110tt，即2213160tt，又,m n是2213160tt两个根，132mn，10 分 当直线MN斜率不存在时，联立221631xyx得102y ，理科数学答案 第 5 页 共 5 页 不妨设10101,1,22MN，103,12BM，103,12BN，10159142BM BN ，可知152nm.综上得132mn12 分 21.（12 分）解：（1）函数()f x函数的定义域为(1+)，由2()+ln(11xef xax axx),得 22+)21xeax axfxx（）,令 0fx，得=2x是一个根，要使()f x在(1,3)上有三个极值点123,x x x，则 0fx有三个解，所以2+=0 xeax a在(1,3)必有 2 个解13,x x 21xeax，令2()1xeg xx,则22(2)()(1)xexg xx 由 013gxx,得23x，由 013gxx,得12x3 分()g x在(1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增 min()(2)1g xg，当1x 时，()+g x ，(3)2eg，为了满足题意，必有12ea，a的取值范围为12ea6 分（另另解解注注：()g x在(1,2)上单调递减，(2,3)上单调递增 22212222(2)1,(3),12222eeeeeegggeee，当12ea时，ya与2()1xeg xx在(1,2)和(2,3)上各有一个公共点，即两个公共点；理科数学答案 第 6 页 共 6 页 当=1a时，只有一个公共点；当1a 时，无公共点；当2ea 时，只在(1,2)上有一个公共点，综上，a的取值范围为12ea）（2）解法一：由（1）知13,x x是方程2+=0 xeax a在(1,3)内的 2 个解 312213,xxeaxa eaxa由113321231=1xxxxxeeex 令11x 31x，则e，即lnln1 要证1 313.x xxx只要证1101,2 结合函数lnyx的图像知，两点11(,ln),ln连线的斜率比两点(,ln),ln连线的斜率小，即只要证：1lnln112ln0(01)1 就行 令1()2ln(01)h，22212(1)()10h ()h在(0,1)单调递减()(1)0hh，1 313x xxx 解法二：由(1)知123123xxx，令1xu，则111xu 221xu，于是1()()ueg xh uu,由(1)知()h u在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增 13012uu，则111u 8 分 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 11111111111111111()1uuuueeegg uu euuuu，令11111111()uueF uu eu，则1111111121(1)()()uuuu eeF uu,111111111,1uueu eu，又11101,1uue 11111110,()0uuu eeF u，10 分 1()F u在(0,1)单调递减，1()(1)0F uF 1331 31111()(),1gg ug uuu uuu，13(1)(1)1xx，即1 313x xxx12 分 22.（10 分）选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：（1）222224,3cossin4.3cos2 由cossinxy 得2222xy 曲线C的直角坐标方程2212xy.5 分（2）由（1）知2,0,0,1AB，则直线AB的直角坐标方程为220 xy，极坐标方程为cos2 sin20.在极坐标系中，设,QP ，则2.点P在直线AB上，cos2sin20，理科数学答案 第 8 页 共 8 页 22cossin20，即cos2sin，即2cos2 sin.点Q轨迹的直角坐标方程为2220 xyxy，即22123224xy，点Q的轨迹为半径为32的圆，圆的面积为34.10 分 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 解；（1）由已知得3()(3)24xmxmxmxmm，又mN，1m，()132f xxxx等价于 1242xxx 或1322xx 或3242xxx 解得1x 或13x或3x 所以不等式()2f xx的解集为1,5 分（2）由（1）知()()1313f af baabb，3,3ab()()22812f af bab，即：10ab 4114114149=()55210101010bab aababababab.所以当且仅当4baab时等号成立，即2010,33ab时等号成立10 分