1、2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】试题分析：由 ,得，所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A.【考点】1、复数的基本运算；2、复数的几何意义.2圆的方程为，则圆心坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】将化为圆的标准方程可看出圆心坐标.【详解】将配方,化为圆的标准方程可得,即可看出圆的圆心为.故选：D.【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.32019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中
2、国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）A17.5和17B17.5和16C17和16.5D17.5和16.5【答案】D【解析】根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.【详解】根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,再根据中位数的概念可得中位数为17.5,根据平均数的概念可得平均数为.故选:D【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.4某公司有3
3、000名员工，将这些员工编号为1，2，3，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A44号B294号C1196号D2984号【答案】B【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.5已知直
4、线，若，则实数的值为（ ）A8B2CD-2【答案】A【解析】利用两条直线平行的充要条件求解【详解】：直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1l2，解得a=8故选A .【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用6执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】模拟运行过程，依次计算S，直到退出循环为止.【详解】由图，模拟执行程序得程序框图的功能是计算时的n的值，.模拟程序的运行，可得S0，n1，执行循环体，S1，不满足条件S2，n2，执行循环体，S1，不满足条件S2，n3，执行循环体， S，不满足条件S2，
5、n4，执行循环体，S2，满足条件S2，退出循环，输出n的值为4故选：D【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7设，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分条件也不必要条件【答案】A【解析】首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件.【详解】， ， ， ， 是的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础题型，当命题是集合形式时，若时，时的充分不必要条件，同时，是的必要不充分条件，若，则互为充分必要条件.8若函数与在区间上都是减函数，
6、则的取值范围 （ ）ABCD【答案】D【解析】【详解】对于，开口向下，对称轴为若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是9已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是（ ）A3 B3 C3 D【答案】A【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，直线方程为，即，到直线的距离为，点到的距离的最小值为，所以面积最小值为故选A【考点】点到直线的距离10将颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方
7、程组，有实数解的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】因为方程组有解，故直线与圆有公共点，所以即，当时，有3种情形；当时，有3种情形；当时，有4种情形；当时，有18种情形；故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.故选：B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.11如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两
8、支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A4BCD【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设为双曲线上一点，为双曲线上一点,由在中运用余弦定理得：,故答案选点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。12如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,
9、所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.二、填空题13已知x、y满足约束条件，则的最小值为_.【答案】3【解析】作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.【详解】作出可行域如图表示：目标函数，化为，当过点时，取得最大值，则取得最小值，由，解得，即，的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.14斜率为2的直线l经过抛
10、物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为_.【答案】10【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长.【详解】因为焦点，所以，联立直线与抛物线可得：，所以即，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法：(1)直接利用弦长公式：；(2)利用焦半径公式简化计算：.15若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_.【答案】【解析】根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案【详解】解：根据题意，曲线，其导数，则；故答案为：【点
11、睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题16若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .【答案】【解析】设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在轴上，则，所以椭圆方程为.【考点】直线圆的位置关系、椭圆的标准方程.三、解答题17某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据
12、频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：百万元）2327表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】（）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（）求出回归系数，即可得出
13、结论【详解】（）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（）由（）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为；（）由（）知空白栏中填5由题意可知，根据公式，可求得，即回归直线的方程为【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题18已知函数，（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值.【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由，解得角，利用共
14、线条件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值.试题解析：（1）当 ，即时，有最小值为当 ，即时，有最大值为 (2)与向量共线 由正弦定理得 ，由余弦定理可得 联立可得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.19如图1，在等腰中，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。（1）证明：平面；
15、（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接.，为的中点.又为的中点，.依题意可知，则四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2），且，平面，平面，且，平面，以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.
16、从而，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.20已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭
17、圆，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值；方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值【详解】（1）设动圆的半径为，由已知得，点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，设椭圆方程：（），则，则，方程为：；（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，直线的方程为：，直线的方程为：，当时，又满足，为定值解法二：由已知得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，存在且不为零，直线的方程为：，直线的方程为：，当时，,联立直线和直线的方程，可得点坐标为，将点坐标代入椭圆方程中,得，
18、即，整理得 ，为定值【点睛】本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型.21已知函数在点处的切线方程为（1）求，的值；（2）设函数（），求在上的单调区间；（3）证明：（）【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当时可得不等式，取，可得，变形后可得，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立。试题解析：（1）， ，依题意得 解得。（2）由（1）知，故函数在
19、的单调性为：当时，的递减区间为；当时，的递减区间为，递增区间为；当；当（3）由（2）知时， ，即 ，令，得，即,所以，上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加得（）。故不等式成立。点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练。22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值.
20、【答案】(1)直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：(2)4.【解析】试题分析：(1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：；(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：的值是4.试题解析：（1）消去参数t可得直线的普通方程为：，极坐标方程即：，则直角坐标方程为：，据此可得圆的直角坐标方程为：（2）将代入得： 得，则 23已知（1）证明： ；（2）设为正数，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立.试题解析：(1），则，当且仅当时取等号， (2)要证，需证，即证：，需证， 为正数，由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，将以上三个同向不等式相乘得，所以原不等式成立.第 20 页 共 20 页
