1、河南省郑州市重点高中2019-2020学年高三期中考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 函数f（x）=的定义域是（）A. B. C. D. 2. 下列各式的运算结果为实数的是（）A. B. C. D. 3. 设集合A=x|x24，AB=x|x-2，则集合B可以为（）A. B. C. D. 4. 函数f（x）=（sinx+cosx）2的最小正周期为（）A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），=（2，-3），则点D的坐标为（）A. B. C. D. 6. 若函数f（x）=1+|x|+x3，则=（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 在Rt
2、ABC中，C=90，AC=4，则=（）A. B. 16C. D. 98. 已知函数f（x）=sinx和g（x）=的定义域都是-，则它们的图象围成的区域面积是（）A. B. C. D. 9. 函数f（x）=sinxln|x|的图象大致是（）A. B. C. D. 10. 若存在等比数列an，使得a1（a2+a3）=6a1-9，则公比q的最大值为（）A. B. C. D. 11. 已知函数f（x）=2cos2（2x+）+sin（4x+），则下列判断错误的是（）A. 为偶函数B. 的图象关于直线对称C. 的值域为D. 的图象关于点对称12. 已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是(
3、)A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 已知全集U=R，集合，则UP=_14. 若函数f（x）=arcsin（x-1）-cos（）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于另外两点P、Q，O是坐标原点，则（+）=_15. 若集合A=x|x2-（a+2）x+2-a0，xZ中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是_16. 正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是_三、解答题（本大题共6小题）17. 函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，）部分图象如图所示（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）设g（x
4、）=f（x）+sin2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值18. 等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n19. 已知函数，；若函数在上存在零点，求a的取值范围；设函数，当时，若对任意的，总存在，使得，求b的取值范围20. 在ABC中，3sinA =2sinB，tanC=2（1）证明：ABC为等腰三角形（2）若ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD=3CD，求线段CD的长21. 已知函数f（x）=（x-a-1）ex+ax（1）讨论f（x）
5、的单调性；（2）若x01，2，f（x0）0，求a的取值范围22. 若数列an、bn满足|an+1-an|=bn（nN*），则称bn为数列an的“偏差数列”（1）若bn为常数列，且为an的“偏差数列”，试判断an是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列an是各项均为正整数的等比数列，且a3-a2=6，bn为数列an的“偏差数列”，求的值；（3）设，bn为数列an的“偏差数列”，a1=1，a2na2n-1且a2na2n+1，若|an|M对任意nN*恒成立，求实数M的最小值答案和解析1.【答案】A【解析】解：由f（x）=，令x-40，解得x4，所以函数f（x）的定义域为x|x4故选：A函数f
6、（x）有意义即保证二次根式的被开方为非负本题考查了二次根式的被开方非负，以及函数定义域的求法问题，是基础题2.【答案】D【解析】解：-i（1+i）=1-i；i（1-i）=1+i；（1+i）-（1-i）=2i；（1+i）（1-i）=1-i2=1+1=2，故选：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】C【解析】【分析】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算可解出集合A，然后进行交集的运算即可【解答】解：A=x|x-2，或x2；B=x|x1时，AB=x|x-2故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角恒等变
7、换，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题将f（x）=（sinx+cosx）2展开，可得f（x）=1+sin2x，从而可求得其最小正周期【解答】解：f（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，f（x）的最小正周期为T=故选：B5.【答案】A【解析】解：解：设C（x，y），D（s，t），则：；C（3，-1）；又，；（3-s，-1-t）=（-3，-2）；点D的坐标为（6，1）故选：A可设C（x，y），D（s，t），从而根据条件得出（x-1，y-2）=（2，-3），从而可求出，即C（3，-1），并可求出，根据即可求出点D的坐标考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等
8、向量的概念6.【答案】C【解析】【分析】考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法可知，从而可根据f（x）的解析式得出=1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=6【解答】解：=f（lg2）+f（-lg2）+f（lg5）+f（-lg5）=1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=4+2（lg2+lg5）=6故选：C7.【答案】B【解析】解：C=90，=0=16故选：B利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则即可得出本题考查了向量垂直与数量积的关系
9、、向量的三角形法则，属于基础题8.【答案】C【解析】解：g（x）=的图象为圆心为O半径为的圆的上半部分，y=sinx是奇函数，f（x）在-，0上与x轴围成的面积与在0，上与x轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积S=，故选：C作出f（x）与g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键，属基础题9.【答案】A【解析】解：f（-x）=sin（-x）ln|-x|=-sinxln|x|=-f（x），函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故排除B，C，当x+时，-1s
10、inx1，ln|x|+，f（x）单调性是增减交替出现的，故排除，D，故选：A先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题由a1（a2+a3）=6a1-9，化为：a12（q+q2）-6a1+9=0，当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意，当q+q20，0，解得q范围即可得出【解答】解：a1（a2+a3）=6a1-9，a12（q+q2）-6a1+9=0，当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意，当q
11、+q20，=36-36（q+q2）0，解得q且q0，q-1q的最大值为故选：D11.【答案】D【解析】解：f（x）=1+cos（4x+）+sin（4x+）=1+2sin（4x+）=1+2cos4x，则A，B，C均正确，D错误故选：D化简f（x）=1+2cos4x后，根据函数的性质可得本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题12.【答案】A【解析】解：由（x+xlnx）f（x）f（x），x（，+），得（1+lnx）f（x）-f（x）0，令，则0故g（x）在（，+）递减；g（e）g（1），即f（e）2f（1）故选：A令，可得0可得g（x）在（，+）递减，即可求解本题考
12、查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题13.【答案】（-，1【解析】解：由P中y=，0x1，得到y1，即P=（1，+），全集U=R，UP=（-，1故答案为：（-，1求出P中y的范围确定出P，根据全集U=R，求出P的补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键14.【答案】2【解析】解：因为f（1）=0，f（x）=arcsin（x-1）-cos（）在区间0，2上单调递减且关于（1，0）对称，所以点A为（1，0），P、Q两点关于点A对称，所以，所以（）=22=2，故答案为：2先分别观察函数y=arcsin（x-
13、1）和y=cos（）会发现两个函数都在区间0，2上单调递减且关于（1，0）对称，所以f（x）=arcsin（x-1）-cos（）在区间0，2上单调递减且关于（1，0）对称，所以得到点A（1，0），且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题本题主要考查三角函数与反三角函数的图象与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键15.【答案】【解析】解：x2-（a+2）x+2-a0且a0x2-2x+2a（x+1）令f（x）=x2-2x+2；g（x）=a（x+1）A=x|f（x）g（x），xZy=f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y
14、=g（x）一次函数，图象是过一定点（-1，0）的动直线又xZ，a0数形结合，可得：故答案为：（，因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f（x）g（x）的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题16.【答案】1【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，），所以=（+1，sin+1），=（2，0），=（0，2），又，所以，则=，其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（c
15、os，sin）的直线的斜率，设直线方程为y+2=k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2=1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1由平面向量的坐标运算得：则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，），所以=（+1，sin+1），=（2，0），=（0，2），又，所以，则=，其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（cos，sin）的直线的斜率，由点到直线的距离得：设直线方程为y+2=k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2=1，由点到直线的距离有：，解得：，即的最大值是1，得解本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题
16、型17.【答案】解：（1）由函数f（x）=Acos（x+）的部分图象知，A=1，=-=，T=，f（x）的最小正周期为；由=2，且x=时，f（）=1，2+=0，解得=-，f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-）；（2）函数g（x）=f（x）+sin2x=cos（2x-）+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），当x0，时，2x+，sin（2x+）-，1，函数g（x）在区间上的最大值为，最小值为【解析】（1）由函数f（x）=Acos（x+）的部分图象写出A、T和、的值，即可写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为正弦型函数，求出g（x）在区间上的最大和最小值本题考查了三角函数
17、的图象与性质的应用问题，是中档题18.【答案】解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S2=10，a5-2b2=a3得，解得an=3+2（n-1）=2n+1，（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n-1T2n=（c1+c3+c2n-1）+（c2+c4+c2n）=【解析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）则n为奇数，cn=“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”
18、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：（1）f（x）=x2-4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，f（x）在-1，1上是减函数，函数y=f（x）在-1，1上存在零点，f（-1）f（1）0，即a（8+a）0，解得：-8a0（2）a=3时，f（x）=x2-4x+6，f（x）在1，2上单调递减，在2，4上单调递增，f（x）在2，4上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6即f（x）在2，4上的值域为2，6设g（x）在1，4上的值域为M，对任意的x11，4，总存在x21，4，使得g（x1）=f（x2），M2，6当b=0时，g（x）=5，即M=5，符合题意，当b0时，g（
19、x）=bx+5-2b在1，4上是增函数，M=5-b，5+2b，解得0b当b0时，g（x）=bx+5-2b在1，4上是减函数，M=5+2b，5-b，解得-1b0综上，b的取值范围是【解析】（1）根据f（x）在-1，1上单调递减且存在零点可得f（-1）f（1）0，从而解出a的范围；（2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在1，4上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围本题考查了二次函数的单调性判断，值域计算，零点的存在性定理，分类讨论思想，属于中档题20.【答案】（1）证明：tanC=20，C为锐角，且sinC=，cosC=过A做AHBC
20、，垂足为H，则CH=bcosC=，3sinA=2sinB，3a=2b，即a=，H是BC的中点，又AHBC，AB=AC，ABC为等腰三角形（2）解：AH=bsinC=，SABC=2，解得b=3，BC=2，在BCD中，由余弦定理得cosC=，解得：CD=【解析】（1）过A做BC的垂线AH，根据C的大小可得H为BC的中点，从而得出AB=AC；（2）根据面积求出BC，在BCD中根据余弦定理计算CD本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题21.【答案】解：（1）函数f（x）=（x-a-1）ex+ax的定义域为R，f（x）=（x-a）ex-x+a=（x-a）（ex-1）令f（x）=0，可得x=a
21、，或x=0，当a0时，x（-，a）（0，+），f（x）0，x（a，0），f（x）0函数f（x）在（-，a），（0，+）上递增，在（a，0）递减；当a=0时，f（x）0恒成立，函数f（x）在（-，+）上递增；当a0时，x（-，0）（a，+），f（x）0，x（0，a），f（x）0函数f（x）在（-，0），（a，+）上递增，在（0，a）递减；（2）设g（x）=x-ex，g（x）=1-ex在1，2，g（x）0恒成立，g（x）单调递减，g（x）g（1）=1-e0可得f（x0）0（x0-a-1）e-+ax00a（x0-e）+e-x01，2，使得a设h（x）=，x1，2，设（x）=，x1，2，（x）=x-e
22、x0在1，2恒成立（x）在1，2单调递减，（x）（1）=，h（x）0在1，2恒成立h（x）在1，2单调递增，h（x）min=h（1）=综上，a的取值范围为（）【解析】（1）求出函数的导数，分a0，a0，a=0求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a（x0-e）+e-x01，2，使得a设h（x）=，x1，2，根据函数的单调性求出a的范围即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数存在性问题，考查转化思想，是一道中档题22.【答案】解：（1）an不一定为等差数列，如，则bn=2为常数列，但an不是等差数列，（2）设数列an的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，因为a3-a2=
23、6，所以a1q（q-1）=6=123，解得或，故或（nN*），当时，=；当时，=；综上，的值为或；（3）由a2na2n-1且a2na2n+1得，=故有：，累加得：=，又a1=1，所以，当n为奇数时，an单调递增，an0，当n为偶数时，an单调递减，an0，从而|an|，所以M，即M的最小值为【解析】（1）an不一定为等差数列，如；（2）设数列an的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；（3）由累加法可得数列an的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题10第页
