1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（七）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列格式的运算结果为实数的是（）AB1ii1iiCD 11ii
2、11ii【答案】D【解析】对 A,对 B,对 C,对 D,.故选 i 1 i1 i;i 1 i1 i;1 i1 i2i;1 i 1 i2D.2设集合，则下列关系正确的是（）|e4xAy y|lg23Bx yxxABABAB CDRRABRBA公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】C【解析】由题意，只有 C 正确.|4Ay y230|23Bxxxxx BA3双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为（）A4B4CD1414【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，2211xym2211,abm 2所以，即，也即.故选 C.2ba2
3、24ba114,4mm 4已知等比数列的前项和的乘积记为，若，则（）nannT29512TT8T ABCD1024204840968192【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由得，故，即.naq29TT761a 61a 511a q 又，所以，故，所以.故选 C.2121512a aa q91512q 12q 36312832424096aTTaq5已知函数，则（）()lnln(2)f xxxA在（0，2）单调递增B的图像关于直线对称()f x()y=f x1x C在（0，2）单调递减D的图像关于点（1，0）对称()f x()y=f x【答案】B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解
4、析】由题意知，所以的图象关于直线对称，故 B 正确，(2)ln(2)ln()fxxxf x()f x1x D 错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在()ln(2)f xxx02x()f x(0,1)上单调递减，所以 A，C 错误，故选 B(1,2)6设为区间内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概x2 2,y1,32率为（）ABCD34581238【答案】C【解析】根据题意知，当 x2，0时，y2x，1；当 x（0，2时，y2x+1（1，5；所以当14y，3时，x1，1，其区间长度为 2，所求的概率为 P故选 C1221427设实数，满足，则的最大值为（）
5、xy2142106xyxyxyxyA14BCD12492252公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如下：2142106xyxyxy由图像可得，则，102yx2525(102)2(5)222xxxyxxxx 当且仅当，时，取等号；经检验，在可行域内，所以的最大值为.故选 D.52x 5y 5,52xy2528教育装备中心新到 7 台同型号的电脑，共有 5 所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少 2 台，其余学校协商确定，允许有的学校 1 台都没有，则不同的分配方案的种数为（）A35B30C25D20【答案】A【解析】即剩下 3
6、 台分给 5 个学校，有三种分法，一是都给一个学校，有 5 种分法；二是分给两个学校，一个 2 台另一个 1 台，有种，三是分给三个学校，每校一台，有种，共115420C C 3510C 种.故选 A.520 1035公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞9已知函数满足，且在区间上单调，2sin0f xx24f 0f f x,4 3 则符合条件的的值的个数为（）A7B9CD1412【答案】B【解析】由题意知函数的周期，由，结合正弦函数图像的特征可知 f xT24f 0f，故，；又因为在区间上单调，3424TkTkN312Tk2 123kkN f x,4 3 所以，故，所以，即，342T6T
7、212T2 12123k172k kN符合条件的的值有 9 个.故选 B.0,1,2,8k 10设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数，na2*11536,2,N44nnnaaaan xx为前项和，则的个位数字是（）nS nan2020SA6B5C2D1【答案】B【解析】16,a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞2232425212536211,445311221,445326112141241,445341281,44.535322,44144nnnnnnaaaaaaaaaa 即从第二项开始，每项的个位数均为 1，故的个数数字相加之和:，个位数字是2020S6(2020 1)2
8、0255,故选 B.11如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为P22143xyPC22(1)1xy，则当四边形面积最大时，的值为（）ABPACBPA PB ABCD569529469289【答案】A【解析】连接，设，则，由切线的性质知，所以PCAPC2APBPAPB，故四边形面积最大时，即最大，且.易知1212PACBSPAPA四边形 PACBPA21PAPC当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示，PPC2,0P 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞此时，所以，1AC 3PC 2 2PA 1sin3.故2cos212sinPA PBPAPBPAPB 212562 2
9、2 21 281399 选 A.12已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足1111ABCDABC DVMN1BB1CC最小，则四面体的体积为（）1AMMNND1AMNDABCD112V18V16V19V【答案】D【解析】如图，点 M，N 分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与11,BB CC1AMMNND1,MN ND所在的面共面，三线共线时，最小，AM1,AM MN ND1AMMNND公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 ,设正方体的棱长为，则，11111,33BMBB CCNC1AC3a327aV取，连接，则共面，在中，设到的距离为，327Va 13BGBCNG1AG
10、ND1ANDN1AD1h12222112222211111112(3)(3)3 2,(3)10,1022187(3 2)(2)22,cos,210222 553 1911sin,sin=3 192192,222 55=D NAADaaa D NaaaaaaANaaaD NAaaD NASD NaaAND NAAD hh，设到平面的距离为，M1AGND2h221 11111,(2)322 1962 2,21,3 232229MAGNA MGNVVhaaaa aaahaaa .故选 D12313 196332919AMNDaaVVa二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设向
11、量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为_(3,4)a ba10b b【答案】6,8【解析】因为向量与向量方向相反，所以可设，ba3,4,0ba 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，故答案222916255510b 2 32,426,8b 为.6,814函数为偶函数，当时，则曲线在处的切线方程为 f x0 x xfxe yf x1x _【答案】0exy【解析】设，则，因为偶函数，有，.0 x 0 x f x xf xfxe0 x，切线为过点，斜率为的直线，故方程为 1,xfe fxe 1fe 1,ee，即.故答案为.1yee x 0exy0exy15已知的展开式的所有项系数之和为 2
12、7，则展开式中含的项的系数是_23(2)(1)xax2x【答案】23 【解析】已知的展开式的所有项系数之和为 27,将 x=1 代入表达式得到3221xax展开式中含的项的系数是 故答案为 23.31272.aa2x 2133322123.CxC 16设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，h xD h x则称“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数中 的取值范围是_ f x 1xf xaaa【答案】2(1,)ee【解析】因为，所以函数为单调递增的函数，1xf xaa又因为为“倍胀函数”，所以由题可得：.f x22mnaman即是方程：的两个根，即函数有两个零点,m n2xax(
13、)2xg xax公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，令可得,()ln2xg xaa()ln20 xg xaa22loglnlnxaaxaa易知当取最小值，所以,2log,()lnaxg xamin222()(log)2log0lnlnlnaag xgaaa令 此时，即，又因为,2(0)lnt ta2tae22log0tattta2tae所以，即，解得，所以，故答案为.te2lnea2eae21eae21eae三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）如图中，为的中点，.ABCDBC2 13AB 4AC 3AD（1）求边的长；BC（2
14、）点在边上，若是的角平分线，求的面积.EABCEBCABCE【解析】（1）因为在边上，所以，DBCcoscosADBADC 在和中由余弦定理，得，ADBADC222222022ADBDABADDCACADBDADDC因为，2 13AB 4AC 3AD BDDC所以，所以，.229529160BDBD225BD 5BD 所以边的长为 10.BC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由（1）知为直角三角形，所以，.ADC14 362ADCS 212ABCADCSS因为是的角平分线，CEBCA所以.1sin21sin2ACEBCEACCEACESSBCCEBCE42105ACBC所以，所以
15、.25ABCBCEACEBCEBCESSSSS7125BCES607BCES即的面积为.BCE60718（12 分）三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，ABCDMNADAB为线段上的点，且.PBCMNNP（1）证明：为线段的中点；PBC（2）求二面角的余弦值.ANPM【解析】取 BD 的中点 O，建坐标系如图所示，则，0,0,3,1,0,0,0,3,0ABC，设（1）证明：设，则131,0,0,0,22DN 1,3,0,3,0BPBC ，.因为，1,3,0OPBC 13,3,22NP,MNPN11000,22所以点 P 是 BC 的中点.公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号
16、：卷洞洞（2）易平面 PMN 的法向量为.，设平面 ABC 的法向量为10,1,1n 1,0,3,1,3,0BABC ，则，所以.2,nx y z 030 300 xzxy 23,1,1n 1 110cos52519（12 分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十xy人次），统计数据如表所示：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如图所示的散点
17、图公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）根据散点图判断，在推广期内，与均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫yabx(,xyc dc d 码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；yx（2）根据（1）的判断结果及表 l 中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支yx付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表所示：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客
18、，享受 7 折优惠的概率为，享受 8 折优16惠的概率为，享受 9 折优惠的概率为根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估1312计一名乘客一次乘车的平均费用参考数据：yu71iiix y71iiixu0.5410661.542.71150.123.47其中，.lgiiuy7117iiuu【解析】（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型；xyc d（2）由（1）知回归方程为，两边同时取常用对数得：，xyc dlglglglgxyc dcd x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设，又，lgyulglgucd x4x 1.54u
19、721140iix，把样本中心点代入7172221750.1274 1.547lg0.2514074287iiiiixuxudxx 4,1.54，lglgucd x即，解得：，1.54lg0.25 4c4 l0.5gc 0.540 5.2uxlg0.540.25yx关于 x 的回归方程式为：，y0.54 0.250.540.250.25101010403.7 1xxxy把代入上式得，8x 23.4734107y 活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 347 人次；（3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4，则；20.1P Z 1 1.80.30.1
20、52P Z；.11.60.60.30.73P Z 11.40.30.056P Z 分布列为：Z 2 1.8 1.6 1.4 P 0.1 0.15 0.7 0.05 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）20.1 1.8 0.151.60.71.40.051.6620（12 分）已知抛物线：，圆：.E24yxC22(3)1xy（1）若过抛物线的焦点的直线 与圆相切，求直线 方程；EFlCl（2）在（1）的条件下，若直线 交抛物线于，两点，轴上是否存在点使lEABx(,0)M t公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AMOBMO
21、OM【解析】（1）由题知抛物线的焦点为，当直线的斜率不存在时，过点的直线不可能与圆E1,0F1,0F相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，C设直线斜率为，则所求的直线方程为，即，k1yk x0kxyk所以圆心到直线 的距离为，l223211kkkdkk当直线 与圆相切时，有，l2231131kdkk 所以所求的切线方程为或.313yx313yx（2）由（1）知，不妨设直线：，交抛物线于，两点，l313yx11,A x y22,B xy联立方程组，所以，2231141034yxxxyx 1214xx121xx假设存在点使，则.而，,0M tAMOBMO 0AMBMkk11AMykxt2
22、2BMykxt所以1212AMBMyykkxtxt1221120yxtyxtxtxt122 1120y xy xyyt，122112220 x xxxxxt即，故存在点符合条件.当直线：时，2 1414201tt 1,0M l313yx 由对称性易知点也符合条件.综合可知在（1）的条件下，存在点使.1,0M 1,0M AMOBMO 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞21（12 分）已知函数.lnfxxxax（1）若在上存在极小值，求的取值范围；f x1,ea（2）设（为的导函数），的最小值为，且，g xf xfx fx f x g x 0g x 032g x 求的取值范围.0 x【解析
23、】（1）函数的定义域为.令，解得.f x0,ln1fxxa 0fx1axe因为在上，；在上，.10,ae 0fx1,ae 0fx所以在上单调递减，在上单调递增.f x10,ae1,ae所以的极小值为.依题意知，即，所以.f x1af e11aee10aeee011a 解得.即的取值范围为.21a a2,1（2），所以.1 ln10g xxxaxax 1ln1gxxax令，则，所以在上单调递增.1ln1h xxax 0h x h x0,所以是即的唯一实根.令，得，即.0 x 0gx 0h x 00h x001ln10 xax 001ln1xax所以.00001 ln1g xxxaxa000001
24、11111xaaxaxxx 由题意得，解得.所以的取值范围为.001312xx 0122x0 x1,22(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）曲线的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长1C121:23xtCytx度建立极坐标系，曲线关于对称2:2 cos0Caa1C（1）求极坐标方程，直角坐标方程；1C2C（2）将向左平移 4 个单位长度，按照变换得到与两坐标轴交于两点，为2C32xxyy33CC；,A BP
25、上任一点，求的面积的最大值.3CABP【解析】（1）：（t 为参数），消去，得.1C2123xtytt4xy又，代入得：.xcosysin4xycossin40.sincos402 sin4041:sin2 204C：化为：，又关于：对称，2C2 cosa222(0)xayaa2C1C4xy，：.1,0aC4a 2C22416xy（2）向左平移 4 个单位长度得：，按变换后得：2C2216xy32xxyy.：，令，.2222216116123xyxy3C2211612xy4,0A0,2 3B2 7AB 易得：，设到的距离为.ABl324 30 xy4cos,2 3sinPABld公众号：卷洞洞
26、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则.4 3sin4 3cos4 37d4 32sin14 321477当时，有最大值.35sin14424 d4 3217.max112 722ABPSAB d4 3214 34 6723【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）设函数.()13f xxx（1）求不等式的解集；()61f x（2）证明：.24()24xf xx【解析】（1），即，()61f x 1()61f x 5()7f x当时，显然不合；当时，解得；31x()4f x 3x 5227x 9722x 当时，解得.综上，不等式的解集为.1x 5227x3522x()61f x 973 5,222 2（2）证明：当时，；31x()424xxf当时，则；3x ()24222460f xxxx ()24f xx当时，则.1x()24222420f xxxx ()24f xx，.，.()13134f xxxxx ()4f x 244x2()4f xx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞故.24()24xf xx公众号：卷洞洞
