1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（五）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，集合，若，则()2,3,4A,2Bm m2AB m
2、ABCD0124【答案】A【解析】因为，所以或.当时，不符合题意，当2AB 2m 22m2m 2,4AB 时，.故选 A.22m0m 2设复数，定义.若，则（）zabi(,)a bRzbai12ziiiz ABCD1355i1355i3155i3155i【答案】B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】解：因为，所以，12ziii(1)2(1)(1)(2)31222555iiiiiiiziiii 则.故选：B.1355zi3已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点到焦点的距离为 4，则的值为（(2)P m，m）A4B2C12 或2D4 或4【答案】D【解析】抛物线上的点
3、到焦点的距离与到抛物线的准线的距离相等，所以，解(2)P m，2py 242p得，所以抛物线方程为，将代入方程得.4p 28xy(2)P m，28xy 4m 4曲线与直线围成的平面图形的面积为()4yx5yxABCD152154154ln24158ln22【答案】D【解析】作出曲线与直线围成的平面图形如下：4yx5yx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为45yxyx1x 4x 4yx5yx.故选 D.421441115S5542084 458ln21222xdxxxlnxlnx 5我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，
4、上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为()A40B43C46D47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，ABCD ABEF，底面梯形是等腰梯形，高为 3,梯形的高为 4,等腰梯形的高为2,6,4CDABEFABCDFEDC，三个梯形的面积之和为,故选 C.9 16526462443546222 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞6函数的图象大致是()ln xyxABCD【答案】D【解
5、析】函数的定义域为，ln xyx|0 x x lnlnxxfxf xxxx （）（），排除 B，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，0 x 2lnln1-ln,xxxyyxxx0,e,e 故排除 A,C，故选 D7已知数列的首项，且满足，则的最小的一 na121a=21(25)(23)41615nnnanann na项是()ABCD5a6a7a8a【答案】A【解析】由已知得，所以数列为首项为，公差为 的等差数112325nnaann1725a 25nan71列，则，其对称轴.所以的最小的7(1)825nannn (25)(8)nann10.55.252n na一项是第项.故选 A.58设不等
6、式组表示的平面区域为 D，若圆 C：不经过区域 D 上的点，4010 xyyxx 222(1)(0)xyrr则 r 的取值范围为()公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞AB13,0,513,CD0,55,13【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，4010 xyyxx 得到如图的及其内部，其中，MNP 11M，2 2N，13P，圆：表示以为圆心，半径为的圆，C222(1)(0)xyrr10C ，r由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，rCMrCPCD，当或时，圆不经过221 115CM 22 1 1313CP 05r13r C区域上的点，故选 B.D9在区间上随机取两个数，
7、记为事件“”的概率，为事件“”的概率，,x y1p12xy2p12xy为事件“”的概率，则()3p12xy AB123ppp231pppCD312ppp321ppp【答案】B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，,0,1x y12xy对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分，12xy12xy 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231ppp（1）（2）（3）10已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则函数()f x(0,)x2()log3ff xx的零点所在的区间为()()()7
8、g xf xxABCD(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的(0,)x2()log3ff xx f x0+，单调函数，则为定值，设，则，又由，2()logf xx2()logtf xx 2logf xxt 3f t，所以，所以，所以，因为 2log3f ttt 2t 2log2f xx 2log5g xxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，所以零点所在的区间为（3，4）.1020304050ggggg，11已知同时满足下列三个条件：；是奇函 sin(0)3f xxT3yfx数；.若在上没有最小值，则实数 的取值范围是()0
9、6ff f x0,ttABCD50,1250,6511,1212511,612【答案】D【解析】由，可得,因为是奇函数,t2=23yfx所以是奇函数，即,sin 23x,3kkz又因为，即,所以是奇数，取 k=1，此时,所以函数 06ff2sinsin3kkk43,因为在上没有最小值，此时,5sin 2sin 233f xxx f x0,t2,2333xt 所以此时,解得.故选 D.432,332t511,612t12已知是边长为 2 的等边三角形，当三棱锥体积最大时，其外接球的表SAB45ACBSABC面积为()ABCD143283103203【答案】B【解析】取的中点，连接，设的外接圆的圆
10、心为，的外接圆的圆心为，因ABDCDABCESABF公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞为是边长为 2 的等边三角形，所以面积确定，SABSAB要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的距离最大，只有当平面平面时，SABCCSABABC SAB体积最大，即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大，CAB因为，且，外接圆的半径为，45ACB2AB ABCECE1222sin45所以点在外接圆上运动，如图所示CABC当点满足时，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大.CCACBCAB此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上，CDABCEECD根据球的性质可知，OECEOFDF/OFED故四边形为矩形，故
11、，EODF1332323OEDF在中，球的半径平方为，Rt CEO22217233COCEOE所以球的表面积为.故选 B.27284433R二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞13的展开式中的系数为 .8xyyx22x y【答案】70【解析】设的展开式中含的项为第项，则由通项知8xyyx22x y1r 令，解得，8118822221881rrrrrrrrrrTCxyxyC xy 822rr 4r 的展开式中的系数为8xyyx22x y 448170C14在中，为上一点，是的中点，若，则 .ABCDBCEADBDDC 13CEABA
12、C 【答案】13【解析】，因为是1111133333CECBCAACCBCACDCA E的中点，所以，解得，.故答案为.AD1132113215,26 13 1315在数列中，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：na11a 0na 3yx3,nna a1,0na；数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是 .223a 313a 416527iia na【答案】【解析】，曲线在点处的切线方程为，23yx3yx3,nna a323nnnyaaxa则.，则是首项为 1，公比为的等比数列，从而，3213nnnnaaaa0na 123nnaa na23223a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞
13、，.故所有正确结论的编号是.349a 4412165322713iia16已知双曲线的离心率为 2，分别是双曲线的左、右焦点，点，22221(0,0)xyabab1F2F(,0)Ma，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，(0,)NbPMN12PF PF 12PFF1S，则 .2S21SS【答案】4【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线2cea2,3ca baMN3()yxaP段上，可设，其中，MN(,33)P mmama 0由于，即，1(,0)Fc2(,0)F c1(2,0)Fa2(2,0)Fa得，12(2,33),(2,33)PFammaPFamma 所以由于，
14、222212313464()44PF PFmmaamaa ma 0可知当时，取得最小值，此时，34ma 12PF PF 34Pya当时，取得最大值，此时，则，故答案为 40m 12PF PF 3Pya213434SaSa三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）在中，是的内角平分线，点在线段上，且ABC90BACADBACDBC.2BDCD公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）求的值；sin B（2）若，求的面积.1AD ABC【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，ABDsinsinBDADBADBsin45sinBDADB在中，
15、由正弦定理得，即，ACDsinsin 90CDADCADBsin45cosCDADB两式相除得，即，sin1cos2BCDBBD1sincos2BB，即，又，所以，故.22211sincos1 sin44BBB21sin5B 0Bsin0B 5sin5B（2）由，得是锐角，于是，90BACB2 5cos5B 所以，sinsin45sincos45cossin45BDABBB3 1010在中，由正弦定理得，于是，ABDsin3 2sin2BDAABADB3 2tan4ACABB所以.11 3 2 3 2922248ABCSAB AC18（12 分）如图，四边形为矩形，平面平面，ABCDABEF
16、ABCD/EFAB90BAF，点在线段上.2AD 1ABAFPDF公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）求证：平面；AF ABCD（2）若二面角的余弦值为，求的长度.DAPC63PF【解析】（1）证明：，又平面平面，平面平面90BAFABAFABEF ABCDABEF，平面，平面.ABCDABAF ABEFAF ABCD（2）以为原点，以，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，AABADAFxyz则，0,0,0A1,0,0B1,2,0C0,2,0D0,0,1F，0,2,1FD 1,2,0AC 1,0,0AB 由题知，平面，为平面的一个法向量，AB ADF1,0,0AB ADF设，则，0
17、1FPFD 0,2,1P0,2,1AP 设平面的一个法向量为，则，APC,x y zm00m APm AC，令，可得，21020yzxy1y 22,1,1m，得或（舍去），.226cos,3214 11m ABm ABm AB 131 53PF 19（12 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：AQI0,5050,100100,150150,200200,250250,300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度
18、污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于0，50，（50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关系式为，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、0 91002201002501480 250300 xyxx，重度污染、严重污染的概率分别为.9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气1 1 11116 3 6 12 12 6，质量的频率代替.（i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的分
19、布列；（ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过 2.88 万元？说明你的理由.【解析】（1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数，则 P（2），P（3）21614320738C CC，36320157CC则这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率为；71233857114（2）（i），201001001005P XPx70722010025010010P XPx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，101148025030010010P XPxX 的分布列如下：X02201480P15710110（ii）由（i）可得：E（
20、X）02201480302（元），15710110故该企业 9 月的经济损失的数学期望为 30E（X），即 30E（X）9060 元，设 7 月、8 月每天因空气质量造成的经济损失为 Y 元，可得：，1110632P Y 1111220612123P Y 114806P Y E（Y）02201480320（元），161316所以该企业 7 月、8 月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为 320（31+31）19840（元），由 19840+90602890028800，即 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过 2.88 万元.20（12 分）已知椭
21、圆的右焦点为，点在椭圆上22221(0)xyabab2(1,0)F公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求M222xybMM222xyb证：的周长是定值【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是,12(1,0),(1,0),1FFc在椭圆上，,椭圆的方程是；(3,0)H122426aHFHF3,2 2ab22198xy+=（2）方法 1：设，则，1122,(,)P x yQ xy2211198xy，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，在圆中，是切点，103x1233xPF M，22222
22、2111111|88(1)893xPMOPOMxyxx，同理，211113333PFPMxx23QFQM，因此的周长是定值22336F PF QPQ2PF Q6方法 2：设的方程为PQ(0,0),ykxm km1122(,),(,),P x yQ xy公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由得,则,22,198ykxmxy222(89)189720kxkmxm212122218972,8989kmmxxx xkk22212121211()4PQkxxkxxx x,22222189721()48989kmmkkk 222224 9 8(98)1(89)kmkk 与圆相切,即,PQ228xy2
23、2 2,1mk22 2 1,mk2689kmPQk，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx103x1233xPF 同理，2221(9)333xQFx，12222226666663898989xxkmkmkmF PF QPQkkk因此的周长是定值2PF Q621（12 分）已知函数，xf xex lng xxkxkx（1）若，求实数 的值1k ftg tt（2）若，求正实数的取值范围,a bR 00f ag bfgabk【解析】（1）由题意，得，1xfxe lngxxk由，得，1k ftg tln110tet 令，则，ln11ttet 11ttet公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞
24、公众号：卷洞洞因为，所以在单调递增，2101ttet t1,又，所以当时，单调递增；0010 x 0t t当时，单调递减；0 x 0t t所以，当且仅当时等号成立 00t0t 故方程有且仅有唯一解，实数 的值为 0 0t t（2）解法一：令（），00h xf xbxg bfg0 x 则，1xh xeb所以当时，单调递增;ln1xb 0h x h x当时，单调递减;0ln1xb 0h x h x故 ln1h xhb ln100ln1fbg bfgbb ln1 ln1lnbkbkbbk k令（），ln1 ln1lnt xxkxkxxk k0 x 则 lnln1txxkx（i）若时，在单调递增，1k
25、 0tx t x0,所以，满足题意 00t xt（ii）若时，满足题意1k 0t x 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（iii）若时，在单调递减，01k 0tx t x0,所以不满足题意 00t xt综上述：1k 解法二：先证明不等式，（*）10 xex 1lnxx ln10 xx x 令，1xxex则当时，单调递增，0 x 10 xxe x当时，单调递减，0 x 10 xxe x所以，即 00 x10 xexxR 变形得，所以时，1xex1x ln1xx所以当时，.0 x 1lnxx 又由上式得，当时，.0 x 111lnxx 1lnxx x ln10 xx x 因此不等式（*）均
26、成立 令（），00h xg xaxf afg0 x 则，lnh xxka（i）若时，当时，单调递增;lnakaxek 0h x h x当时，单调递减;0axek 0h x h x故 ah xh ek 00aag eka ekf afg公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 11lnkakk k（ii）若时，在单调递增，0lnak 0h x h x0,所以 00h xhf af1aea因此，当时，此时，01kln0k lnak 11ln0h xkakk k 则需10,10,kkklnk 由（*）知，（当且仅当时等号成立），所以 ln10kk k 1k 1k 当时，此时，1k ln0k 0a
27、则当时，lnak 11lnh xkakk k 1 ln1lnkkkk k（由（*）知）；ln10kk 当时，（由（*）知）故对于任意，0lnak 10ah xea 0a 0h x 综上述：1k(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数70学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为Ox（）
28、，为该曲线上的任意一点.1 sin 1 sin,0p M公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）当时，求点的极坐标；32OM M（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.OMO2NMN【解析】（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，M3,21 sin 31 sin2 1sin2，或，所以点的极坐标为或.0276116M3 7,263 11,26（2）由题意可设，.由，得，1,M 2,2N1 sin 11 sin.21 sin1 cos2 2212MN221 sin1 cos,故时，的最大值为.32 sincos32 2sin454MN2123【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知.()|2|4|f xxx（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；x2()3f xaaa（2）若，且，求的取值范围.()()4f mf nmnmn公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1），所以，24242426(24)2422xxxf xxxxxxxx min2fx 恒成立，则，解得.23f xaa 2min32aafx 12a（2）由（I 知），max2fx 2,2f mf n则，又，所以，于是，4f mf n 4f mf n 2f mf n4nm故.8mn公众号：卷洞洞
