1、页 1 第 华中师大一附中 20192020 学年度上学期期中检测 高三年级数学（理科）试题 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 2,1,0,1,2A ，(1)(2)0Bxx x，则BA的子集个数为（）A.2 B4 C6 D8【答案】B 2.设命题p：nN，22nn，则p为（）A2,2nnN n B2,2nnN n C2,2nnN n=D2,2nnN n 【答案】D 3.若复数z满足(34)112i zi，其中i为虚数单位，则z的虚部为 （）A.2 B.2 C.2
2、i D.2i【答案】B 4.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（）A.第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 【答案】B 5.已知变量 x,y 满足约束条件13230 xxyxy，则yxz 2的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】A 6.已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足12130,0,SS且Sn的最大项为mS，12ma，则13S（）页 2 第 A.20 B.22 C.24 D.2
3、6【答案】D 7.右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ANGC CF 与 EN 所成的角为60 BD/MN 二面角EBCN的大小为45 其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 8.已知ABC中，2ADDCuuu ruuu r，E 为 BD 中点，若BCAEABuuu ruuu ruuu r，则2的值为（）A.2 B.6 C.8 D.10【答案】C 9.若1164log9a，33log2b，0.20.6c，则,a b c的大小关系为 （）A.cba B.cab C.bac D.abc【答案】A 10.已知函数()2sin()(0,|)f xx 的部分图像
4、如右图 所示，且(,1),(,1)2AB，则的值为（）A.56 B.6 C.56 D.6 【答案】C 11.已知函数2()ln(1)22xxf xx，则使不等式(1)(2)f xfx成立的x的取值范围是（）A.(1)(1,)，B.(1,+)页 3 第 C.1(,)(1,+)3 D.(,2)(1,)【答案】D 12.已知函数()sin2sin()4f xxxx，若对于任意的1212,0,),()2x xxx，均有1212|()()|xxf xf xa ee成立，则实数 a 的最小值为（）A.23 B.1 C.32 D.3【答案】B 页 4 第 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
5、20 分)13.曲线xyxe在点1(1,)e处的切线方程为 .【答案】1ye 14.已知3sin()2cos()sin2，则2sinsincos .【答案】56 2sinsincos56tan1tantan22 15.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若1c，ABC的面积为2214ab，则ABC面积的最大值为 .【答案】214 16.已知ABC的外接圆圆心为 O，|6,|8ABAC，(,)AOABACR uuu ruuu ruuu r，若21s i n()2At（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围是 .【答案】33 15(,)16 16 三、解答题：(本大题共 6 小题
6、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若21cos222Abc （1）求角 C；（2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求cos ABM.【解析】（1）由题1 cos1cos222AbbAcc cossinsinsin()sincoscossinACBACACAC 页 5 第 sincos0AC又(0,)sin0cos02AACC （2）记ABM，则MBC，在Rt MCB中，cosCB，在Rt ACB中，cosBCABCAB，即coscos26 即2cos2cos16 3co
7、s4或23（舍）3cos4ABM 18.（本小题满分 12 分）已知数列na的前n项和为nS，112a，*211,nnSanNnn （1）证明：数列1nnSn为等差数列；（2）若数列bn满足12nnnnnbSS，求数列bn的前n项和 Tn.【解析】（1）2n时，22221()nnnnSn annn SSnn 即221(1)(1)nnnSn Sn n(2)n 同除以(1)n n得111(2)1nnnnSSnnn 1nnSn为等差数列，首项为 1，公差为 1 （2）由（1）知211nnnnSnSnn 1211(1)22(1)2nnnnnbn nnn 1121111111(1)()()12 22 2
8、3 22(1)2(1)2nnnnTnnn 19.（本小题满分 12 分）已知函数()(cossin)(cossin)2 3sincos222222xxxxxxf x （1）求函数()f x的最大值并指出()f x取最大值时x的取值集合；（2）若,为锐角，126cos(),()135f，求()6f的值.页 6 第【解析】（1）22()cossin2 3sincos2222xxxxf x cos3sin2sin()6xxx 令262xk 得2,3xkkZ 所以最大值为 2，此时x的取值集合为|2,3x xkkZ （2）由,为锐角，12cos()13得5sin()13 Q022663又312sin(
9、)(,)6522 664 4cos()65 cos()cos()()66 63cos()cos()sin()sin()6665 126()2sin()2sin()2cos()6326665f 20.（本小题满分 12 分）已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，ABBC，3,22,ABBCADE 为 CD 的中点，PBAE（1）证明:平面 PBD平面 ABCD；（2）若P B P D，PC 与平面 ABCD 所成的角为4，试问“在侧面 PCD 内是否存在一点 N，使得BN 平面 PCD？”若存在，求出点 N 到平面 ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.页 7 第 【解
10、析】（1）证明:由四边形 ABCD 是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，ABBC，可得 DC=2,BCD=3，从而BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分ADC.E 为 CD 的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面 PBD.又AE 平面 ABCD平面 PBD平面 ABCD.(2)在平面 PBD 内作 POBD 于 O,连接 OC,又平面 PBD平面 ABCD,平面 PBD平面 ABCD=BD,PO平面 ABCD PCO 为 PC 与平面 ABCD 所成的角,则PCO=4 易得 OP=OC=PB=PD,POBD,O 为 BD 的中点,OCBD.以 OB,OC,O
11、P 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),假设在侧面PCD内存在点N，使得BN 平面PCD成立，设(,0,1)PNPDPC uuu ruuu ruuu r，易得(,3,3(1)N 由00BN PCBN PDuuu r uuu ruuu r uuu r得12,55，满足题意 所以 N 点到平面 ABCD 的距离为2 33(1)5 21.（本小题满分 12 分）（1）已知21()lnf xxx，证明：当2x时，221ln1(ln2)4xxx；页 8 第 （2）证明：当4211(2,1)aee 时，33131()l
12、n(2)39ag xxxxx x有最小值，记()g x最小值为()a，求()a的值域.【解析】（1）证明：2/33122()0 xfxxxx()f x在 2,)上单增 2x 时，()(2)f xf即211lnln24xx 2x时，221ln1(ln2)4xxx （2）/222221311()ln1(ln)33ag xxxxxxxax 由()f x在 2,)上单增且22411()1,()2,f ef eee 4211(2,1)aee 知存在唯一的实数20(,)xe e，使得/0()0g x，即0201ln0 xax /0(2,),()0,()xxg xg x 单减；/0(,),()0,()xxg
13、 xg x单增 min0()()g xg x，0 x满足0201ln0 xax 0201lnaxx 3300000131()ln39ag xxxxx320002()93xx exe 记3212()()93h xxx exe，则2/2()033xh x()h x在2(,)e e上单减 632222()()()9393eeeh eh xh ee 所以()a的值域为63222(,)9393eeee 22.（本小题满分 10 分）已知函数()|2|24|f xxx（1）解不等式()34f xx；（2）若函数()f x最小值为a，且2(0,0)mna mn，求21+1mn的最小值.页 9 第【解析】（1）当2x 时，3234xx，无解 当22x 时，634xx，得122x 当2x 时，3234xx，得2x 所以不等式解集为1,)2 （2）()|2|24|2|2|2|f xxxxxx|(2)(2)|2|xxx 当且仅当22x 时取等 4|2|4x 当且仅当2x 时取等 所以当2x 时，()f x最小值为 4，即4a，所以24mn 所以211212(1)()161mnmnmn12(1)2(5)61mnnm 12(1)23(52)612mnnm 当且仅当2(1)21mnnm且24mn即1,2mn时取“=”所以21+1mn最小值为32
