1、 1 天水一中天水一中 2020 届届 2019-2020 学年度第一学期第四次考试学年度第一学期第四次考试 数学理科试题数学理科试题 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 60 分分)1设集合设集合|1Ax yx，|(1)(3)0Bxxx，则，则BACR)(（）A1,3)B(1,3)C(1,01,3)D(1,0(1,3)2以下四个命题：以下四个命题：“若若xy，则，则22xy”的逆否命题为真命题的逆否命题为真命题“2a”是是“函数函数 logaf xx在区间在区间0,上为增函数上为增函数”的充分不必要条件的充分不必要条件 若若pq为假命题，则为假命题，则p，q均为假命题均为假命题
2、 对于命题对于命题p：0 xR，20010 xx，则，则p为：为：xR，210 xx 其中真命题的个数是（其中真命题的个数是（）A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 3已知已知0.3log2a，0.12b，sin789c，则，则a，b，c的大小关系是的大小关系是 Aabc Bacb Ccab Dbca 4函数函数 f(x)=Asin(x+)，（，（A，0，|）的部分图象如图，则）的部分图象如图，则 f(x)=（）A 243f xsinx B 243f xsinx C 48239f xsinx D 48239f xsinx 5已知已知 F1、F2为椭圆为椭圆221259xy的两个焦点，
3、过的两个焦点，过 F1的直线交椭的直线交椭圆于圆于 A，B 两点，若两点，若2212F AF B，则，则|AB|=()A6 B7 C5 D8 6将将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，另两人各本，另两人各 2 本，则不同的分配方法本，则不同的分配方法 2 是是()种种(用数字作答）用数字作答）A108 B90 C18 D120 7定义在定义在R上的奇函数上的奇函数()f x满足：当满足：当0 x 时，时，20192019logxf xx，则函数，则函数()f x的的零点的个数是零点的个数是()A1 B2 C3 D5 8 在 在ABC 中，
4、内角中，内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，其中，其中 b=1，abcb=sinCsinAsinBsinC，若若 A=2B，则，则ABC 的周长为（的周长为（）A3 B4 C23 D33 9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（的侧面的面积为（）A22 B32 C52 D2 10实数实数,x y满足条件满足条件10230 xyxy.当目标函数当目标函数,0zaxby a b在该约束条件下取到在该约束条件下取到最小值最小值4时，时，12ab的最小值为（的最小值为（）A6 B4 C3 D2 11已
5、知双曲线已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为12,F F，若双曲线的左支上存在，若双曲线的左支上存在一点一点P，使得，使得2PF与双曲线的一条渐近线垂直于点与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，且224PFF H，则此双曲线的离，则此双曲线的离心率为（心率为（）A2 63 B43 C132 D53 12定义在定义在R上的函数上的函数 fx的图象是连续不断的曲线，且的图象是连续不断的曲线，且 2xf xfx e，当，当0 x 时，时，fxf x恒成立，则下列判断一定正确的是（恒成立，则下列判断一定正确的是（）3 A 523e ff B 523fe f C 5
6、23e ff D 523fe f 二、填空题二、填空题(每题每题 5 分，共分，共 20 分分)13已知向量已知向量1,2a ，3b，7ab，则，则|ab_.14由曲线由曲线2yx，直线，直线 y=2x，x=2 所围成的封闭的图形面积为所围成的封闭的图形面积为_ 15已知二项式已知二项式31()nxx的展开式中各项系数和为的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为，则展开式中的常数项为_.（用（用数字作答）数字作答）16如图所示，两半径相等的圆如图所示，两半径相等的圆A，圆，圆B相交，相交，CD为它们的公切线段，为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段且两块阴影部分的面积相
7、等，在线段AB上任取一点上任取一点M，则，则M在线段在线段EF上的概率为上的概率为 .三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分）17(本小题满分本小题满分 12 分分)已知等差数列已知等差数列 na的前的前n项和项和为为nS，且，且312S，6919aa.（1）求数列）求数列 na的通项公式；的通项公式；（2）设）设23nanbn，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和nT.18(本小题满分本小题满分 12 分分)如如图，已知三棱锥图，已知三棱锥PABC，平面，平面PAC 平平面面ABC，122ABBCPAPC，120ABC（1）证明：）证明：PABC；（2）设点）设点E为为PC中点，求直线
8、中点，求直线AE与平面与平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值 19(本小题满分本小题满分 12 分分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为的概率为23.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没设各局比赛相互间没有影响且无平局有影响且无平局.求：求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；）前三局比赛甲队领先的概率；（2）设本场比赛的局数为）设本场比赛的局数为，求，求的概率分布和数学期望的概率分布和数学期望.(用分数表示用分数表
9、示)4 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知抛物线已知抛物线2:20E ypx p，过其焦点，过其焦点F的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于11,A x y、22,B xy两点，满足两点，满足124y y .（1）求抛物线）求抛物线E的方程；的方程；（2）已知点）已知点C的坐标为的坐标为2,0，记直线，记直线CA、CB的斜率分别为的斜率分别为1k，2k，求，求221211kk的最小的最小值值.21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知函数已知函数 22lnf xxaxx（其中（其中 a 是实数）是实数）（1）求）求的单调区间；的单调区间；（2）若设）若设，且，且有两个极值点有两个
10、极值点1x 2x，求，求a取值范围（其中取值范围（其中 e 为自为自然对数的底数然对数的底数 选做：共选做：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.22(本小题满分本小题满分 10 分分)在直角坐标系在直角坐标系xOy中，直线中，直线1:2Cx ，圆，圆222:(1)(2)1Cxy，以坐标原点以坐标原点O为极点，以为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求）求1C，2C的极坐标方程；的极坐标方程；（2）若直线）若直线3C的极坐标方程的极坐标方程4()R
11、，设，设2C与与3C的交点为的交点为M，N，求，求2C MN的的面积面积.23(本小题满分本小题满分 10 分分)设函数设函数()|1|5()f xxmxmR（1）当）当2m 时，求不等式时，求不等式()0f x 的解集；的解集；（2）若）若()2f x，求实数，求实数 m 的取值范围的取值范围 5 理科答案理科答案 一、选择题：BCBAD BCDBD DB 12.构造函数 xf xg xe，因为 2xf xfx e，所以 2xf xfxe 则 2xxxxf xfxf xegxg xeee，所以 g x为偶数 当0 x 时，0 xfxf xgxe，所以 g x在0,上单调递增，所以有 32gg
12、，则 32gg，即 3232ffee，即 532e ff.故选：B 一、填空题 13.3 14.3-2ln2 15.28 16.41 16.设圆的半径为r。由题意可得2211242ABCDSrr 所以21122ABrrr，1222EFrrrr 所以24112EFrrPABr 二、解答题 17.【答案】【答案】（1）2nan；（2）12332nnnnT.（1）由题得111112125819aadadadad，解之得13,1ad，6 所以3(1)12nann，所以数列 na的通项公式为2nan.（2）由题得3nnbn，所以数列 nb的前n项和nT123(3333)(1 23)nn，所以123(1
13、3)333(1)(31)(1)1 32222nnnnnnnnTnn.18.(1)2ABBC,120ABC,由余弦定理得 2222cos12ACABBCAB BCABC,故2 3AC.又2224 1216PAACPC,故PAAC.又平面PAC 平面ABC,且平面PAC平面ABCAC,故PA平面ABC.又BC 平面ABC,故PABC.证毕.(2)由(1)有PA平面ABC,故以A为坐标原点,垂直,AC AP为x轴,AC为y轴正向,AP为z轴正向建如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A,(1,3,0)B,(0,0,2)P,(0,2 3,0)C,(0,3,1)E.故(0,3,1)AE,(0,2 3,2)
14、PC,(1,3,0)BC ,设平面PBC的法向量(,)mx y z则2 3200030yzm PCm BCxy,7 令1y 有313xyz,故(3,1,3)m,设AE与平面PBC所成角为,则 22222 321sin731313AE mAE m 故答案为：217 19.解：（1）设“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则328()327P A，223214()339P BC ，所以，前三局比赛甲队领先的概率为20()()27P AP B（2）甲队胜三局或乙胜三局，33211(3)333P 甲队或乙队前三局胜2局，第 4局获胜 223212(4)333PC2231211033327C
15、甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜 2224212(5)333PC2224121833327C 的分部列为：3 4 5 P 13 1027 827 数学期望为1108107()3453272727E 8 20.（1）因为直线AB过焦点,02pF，设直线AB的方程为2pxmy，将直线AB的方程与抛物线E的方程联立222pxmyypx，消去x得2220ympyp，所以有2124y yp，0p，2p，因此，抛物线E的方程24yx；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为1,0F，设直线AB的方程为1xmy，联立抛物线的方程2440ymy，所以124yym，124y y ，则有1113mky，2213mky
16、，因此22222221212121211331111=269mmmmkkyyyyyy 221212222122212122484926926954162yyy ymyymmmmmmy yy y .因此，当且仅当0m 时，221211kk有最小值92.21.解析：（1）22f xxaxlnx(其中a是实数)，f x的定义域0,，22222xaxf xxaxx，令 222g xxax，=2a-16,对称轴x4a，02g，当=2a-160，即-44a时，0f x，函数 fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间，当=2a-160,即4a 或4a时，若4a ，则 0f x 恒成立，9 f x 的单调递增
17、区间为0,，无单调递减区间。若a 4，令 0f x，得 1x=2164aa，2x=2164aa，当x(0,1x)(2x,+)时，0f x ，当x（12xx，）时，0f x f x的单调递增区间为（0，1x），（2x，），单调递减区间为（12xx，）综上所述当4a 时，fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间，当4a 时，fx的单调递增区间为（0，1x）和（2x，），单调递减区间为（12xx，）(2)由(1)知，若 fx有两个极值点，则a 4，且1202axx，121x x，1201xx 又211220 xax，111a2 xx，12023eae，1111133exex，又101x，解得1113
18、xe，令 2214h xxlnxx，11(x)2e 则 223210 xh xx恒成立 h x在1 13 e，单调递减，113hh xhe，即 212218044 39ef xf xlne 故 12f xf x的取值范围为22180(44 3)9elne，22.（1）222cos,sin,xyxy 1C的极坐标方程为cos2.由2C的直角坐标方程22(1)(2)1xy，10 展开得222440 xyxy，2C的极坐标方程为22 cos4 sin40.（2）将4代入22 cos4 sin40，得23 240，解得12122 2,2,2，即|2MN.由于2C的半径为 1，即221C MC N.易知22222|C MC NMN，即2C MN为等腰直角三角形，2111 122C MNS .23.（1）当2m 时，()|2|1|5f xxx 当1x 时，()(2)(1)50f xxx，解得2x；当12x 时，()(2)150f xxx ，无解 当2x 时，()2150f xxx，解得3x；综上，原不等式的解集为(,23,)（2）()|1|5|()(1)|5f xxmxxmx|1|52m 当且仅当()(1)0 xm x等号成立|1|3m，11 13m 或13m ，即2m或4m ，实数 m 的取值范围是(,42,)
