1、第1课时 椭圆及其性质基础题组练1(2023年河北衡水二模)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()A.BC. D解析：选D.因为e，所以8a29b2，所以.故选D.2已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1解析：选B.因为a4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是1或1.3已知点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且F1PF260，则|PF1|PF2|()A4 B6C8 D12解析：选A.由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos
2、60|F1F2|2，得3|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|4，故选A.4设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1 BC. D1解析：选A.不妨设椭圆E的方程为1(ab0)，如图所示，因为PF1F2为直角三角形，所以PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2c，所以|PF1|PF2|2c2c2a，所以椭圆E的离心率e1.故选A. 5(2023年江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：1(ab0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF面积的最大值恰为
3、2，则椭圆E的长轴长的最小值为()A1 B2C3 D4解析：选D.如图所示，设直线AB的方程为tyx，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立可得y2y1y2，所以ABF的面积Sc|y1y2|cccb，当t0时取等号所以bc2.所以a2b2c22bc4，a2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.6(2023年高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则
4、得所以M的坐标为(3，)答案：(3，)7(2023年河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为_千米解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米由题意知解得2c85.即椭圆形轨道的焦距为85千米答案：858已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为
5、M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2.又e，所以0b0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且e，求k的取值范围解：(1)由题意得c3，所以a2.又因为a2b2c2，所以b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x
6、1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，依题意易知，OMON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2BF2.因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，将其整理为k21.因为e，所以2a3，12a2b0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A. BC. D解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且，即，解得e.故选B.2(2023年福建福州一模)已知F1，F2为椭圆y21的左、右焦点
7、，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1MPK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为()A(0，1) B(0，)C(0，) D(0，2)解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点，因为K点是F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分F1PF2，因为F1MPK，所以|PN|PF1|，M为F1N的中点，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以|OM|F2N|PN|PF2|PF1|PF2|b0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1AF2，SF1AF22，则椭圆C的方程为_解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|AF2|
8、2a，对其平方，得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|4a2，又AF1AF2，所以|AF1|2|AF2|24c2，则2|AF1|AF2|4a24c24b2，即|AF1|AF2|2b2，所以SF1AF2|AF1|AF2|b22.又AF1F2是直角三角形，F1AF290，且O为F1F2的中点，所以|OA|F1F2|c，由已知不妨设A在第一象限，则AOF230，所以A，则SAF1F2|F1F2|cc22，c24，故a2b2c26，所以椭圆方程为1.答案：14正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：设正方形的边长为2m，因为
9、椭圆的焦点在正方形的内部，所以mc，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，所以1e2，整理得e43e210，e2，所以0e.答案：5已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00，因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4
10、(0b0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x1)2y23，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，所以2bc2.因为|A1A2|2a222，当且仅当bc1时取“”，此时a，所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为y21.(2)是定值设点P(x0，y0)，则y1y1.圆P的方程为(xx0)2(yy0)2xy，即x2y22x0x2y0y0，圆F1的方程为(x1)2y23，即x2y22x20，得公共弦MN所在直线的方程为(x01)xy0y10，所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d，则|MN|22，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.8
