1、 1 能力升级练能力升级练(十六十六)导数及其综合应用导数及其综合应用(2)(2)1 1.(2023 湖北荆州质检)已知函数f(x)=ax-ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a-,-,求证:f(x)ax-x -.(1)解由题意得f(x)=a-(x0),当a0 时,则f(x)0 时,则当x ,+时,f(x)0,f(x)单调递增,当x 0,时,f(x)0 时,f(x)在 0,上单调递减,在 ,+上单调递增.(2)证明令g(x)=f(x)-2ax+x -=xeax-1-ax-lnx,则g(x)=eax-1+axeax-1-a-=(ax+1)eax-1-=)-)(x0),设r(x)=xea
2、x-1-1(x0),2 则r(x)=(1+ax)eax-1(x0),eax-10,当x 0,-时,r(x)0,r(x)单调递增;当x-,+时,r(x)0,r(x)单调递减.r(x)max=r-=-+1 0a-,当 0 x-时,g(x)-时,g(x)0,g(x)在 0,-上单调递减,在-,+上单调递增,g(x)min=g-.设t=-(0,e2,则g-=h(t)=-lnt+1(0t 2),h(t)=0,h(t)在(0,e2上单调递减,h(t)h(e2)=0;g(x)0,故f(x)ax-xeax-1.2 2.图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中
3、四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积,设AB=2x,BC=y.3(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.解(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为 x.所以 4=2x+2y+x,得y=-).依题意知 0 xy,得 0 x .所以y=-)0 x .(2)依题意,得T=ABS=2x2xy-x2=8x2-(4+3)x3.令T=16x-3(4+3)x2=0,得x=0 或x=.因为 0 ,所以当 0 x0,T为关于x的增函数;当 x 时,T0,T为关于x的减函数,所以当
4、x=时凹槽的强度最大.3 3.(2023 北京,理 19)已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为 1 的切线方程;4(2)当x-2,4时,求证:x-f(x)x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR R),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.(1)解由f(x)=x3-x2+x得f(x)=x2-2x+1.令f(x)=1,即 x2-2x+1=1,得x=0 或x=.又f(0)=0,f(),所以曲线y=f(x)的斜率为 1 的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-.(2)证明令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g
5、(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x.令g(x)=0 得x=0 或x=.g(x),g(x)的情况如下:x-2(-2,0)0(0,)(,)4 g(x)+-+g(x)-6 0 -0 所以g(x)的最小值为-6,最大值为 0.5 故-g(x)0,即x-f(x)x.(3)解由(2)知,当a3;当a-3 时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;当a=-3 时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.4 4.已知函数f(x)=ax2-ln x,aR R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间1,e上的最小值为 1,求a的值.解函数f(x)的定义域是(0,+),
6、f(x)=ax-.(1)当a=0 时,f(x)=-0,故函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a0 时,f(x)0 时,令f(x)=0,又因为x0,解得x=.()当x(0,)时,f(x)0,所以函数f(x)在(,)上单调递增.综上所述,当a0 时,函数f(x)的单调减区间是(0,+),当a0 时,函数f(x)的单调减区间是(0,),单调增区间为(,).6(2)当a0 时,由(1)可知,f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)的最小值为f(e)=ae2-1=1,解得a=0,舍去.当a0 时,由(1)可知,()当 ,即a 时,函数f(x)在1,e上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(1)=a=
7、1,解得a=2.()当 1 e,即 a1 时,函数f(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f()lna=1,解得a=e,舍去.()当 ,即 0a 时,函数f(x)在1,e上单调递减,所以函数f(x)的最小值为f(e)=ae2-1=1,得a=,舍去.综上所述,a=2.5 5.(2023 天津,理 20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x 时,证明f(x)+g(x)-x0;(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1 在区间 2n+,2n+内的零点,其中nN N,证明 2n+-xncosx,得f(x)0,
8、则f(x)单调递减;当x 2k-,2k+(kZ Z)时,有 sinx0,则f(x)单调递增.7 所以,f(x)的单调递增区间为 2k-,2k+(kZ Z),f(x)的单调递减区间为2k+,2k+(kZ Z).(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)-x.依题意及(1),有g(x)=ex(cosx-sinx),从而g(x)=-2exsinx.当x 时,g(x)0,故h(x)=f(x)+g(x)-x+g(x)(-1)=g(x)-x 0.因此,h(x)在区间 上单调递减,进而h(x)h=f=0.所以,当x 时,f(x)+g(x)-x0.(3)证明依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即 cosxn=1.记yn=xn-2n,则yn ,且f(yn)=cosyn=-cos(xn-2n)=e-2n(nN N).由f(yn)=e-2n=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x 时,g(x)0,所以g(x)在 上为减函数,因此g(yn)g(y0)g=0.又由(2)知,f(yn)+g(yn)-yn0,故-yn-)=-)-0)-0 0-0)-0-0.8 所以,2n+-xn-0-0.
