1、专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】【人教版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】1【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】2【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】2【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】3【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】4【题型6 根的判别式与新定义的综合】4【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】5【题型8 根的判别式与三角形的综合】5【知识点 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：=b24ac当=b24ac0时，原方程有两个不等的实数根；当=b24ac=0时，原方程有两个相等的实数根；当=
2、b24ac0时，原方程没有实数根.【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】【例1】（2022滨州）一元二次方程2x25x+60的根的情况为（）A无实数根B有两个不等的实数根C有两个相等的实数根D不能判定【变式1-1】（2022梧州）一元二次方程x23x+10的根的情况（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定【变式1-2】（2022春长沙期末）关于x的一元二次方程x242x+9=0的根的情况，下列说法正确的是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定【变式1-3】（2022保定一模）方程（x+3）（x1）x4的根的情况是（）A有两
3、个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】【例2】（2022春钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+20，则下列说法正确的是（）A不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D无论k为何值，方程有两个不相等的实数根【变式2-1】（2022南召县模拟）已知关于x的方程（x1）（x+2）p，则下列分析正确的是（）A当p0时，方程有两个相等的实数根B当p0时，方程有两个不相等的实数根C当p0时，方程没有实数根D方程的根的情况与p的值无
4、关【变式2-2】（2022环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程14x2(k+2)x+2k2+5k+5=0的根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判定【变式2-3】（2022春平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x22（k+5）x+2k2+4k+500的根的情况为（）A有两个相等的实数根B无实数根C有两个不相等的实数根D无法判定【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】【例3】（2022桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx10总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：ab10；丙：a+b10其中符合条件的是（
5、）A甲，乙，丙都正确B只有甲不正确C甲，乙，丙都不正确D只有乙正确【变式3-1】（2022肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+bc0，3a+bc0，则关于x的方程ax2cx+b0的根的情况是（）A无实数根B有且只有一个实数根C两个实数根D无数个实数根【变式3-2】（2022春德阳月考）函数ykxb的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k10的根的情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【变式3-3】（2022咸安区模拟）已知不等式组xa012x31有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a1）x+a0根的情况为（）A无法判断B有两个不相等的实
6、数根C有两个相等的实数根D无实数根【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】【例4】（2022春长丰县期末）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Am1Bm0Cm1且m0Dm0且m1【变式4-1】（2022西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2（2k1）x+k220有实数根，则k的取值范围是（）Ak94Bk94Ck94Dk94【变式4-2】（2022滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx23k+1x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak9Bk9且k0Ck1且k0Dk1且k0【变式4-3】（2022定海区一模）直线yxa不经过第二象限
7、，且关于x的方程ax22x+10有实数解，则a的取值范围是（）A0a1Boa1C0a1D0a1【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】【例5】（2022合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x2）2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A1B0C1或0D4或1【变式5-1】（2022高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是（）Aa1，b4Ba0，b0Ca1，b2Da1，b4【变式5-2】（2022江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a1）x2ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a22a+1+1a的值（）A.3B.3C2D2【变式5-
8、3】（2022春余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个相等的实数根，且满足4a2b+c0，则（）AbaBc2aCa（x+2）20Da（x2）20【题型6 根的判别式与新定义的综合】【例6】（2022烟台一模）定义新运算ab，对于任意实数a，b满足ab（a+b）（ab）2例如32（3+2）（32）2521，若x（2x1）3是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有一个实根B没有实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根【变式6-1】（2022青县二模）定义运算：mnmn22mn1，例如：4242224211若关于x的方程ax0有实数根，则a的取值范围为（）A1a0
9、B1a0Ca0或a1Da0或a1【变式6-2】（2022宁远县模拟）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q有m，pq，nmn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，34，525+3422，若关于x的方程（x2+1，x52k，k0有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak54且k0Bk54Ck54且k0Dk54【变式6-3】（2022郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*ba2+b22ab2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*652+6225621若方程x*kxk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A只有一个实数根B有两个相等的实数
10、根C有两个不相等的实数根D没有实数根【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】【例7】（2021秋瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m10，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根【变式7-1】（2021秋惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+10的一个根为2（1）求q关于p的关系式；（2）求证：方程x2+px+q0有两个不等的实数根【变式7-2】（2021秋方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x1）（x4）p2，其中p为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由【变式7-3】（2022东城
11、区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx20（m0）（1）求证：当nm2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根【题型8 根的判别式与三角形的综合】【例8】（2022莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x24x+m0的两个根，则满足上述条件的m的值有（）A1个B2个C3个D3个以上【变式8-1】（2022春温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6a0有两个相等的实数根，则ABC的周长是 【变式8-2】（2022春宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x22mx+m210（1）判断方程的根的情况；（2）若ABC为等腰三角形，AB5cm，另外两条边长是该方程的根，求ABC的周长【变式8-3】（2021秋揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a6，b与c是方程x2（3m+1）x+2m2+2m0的两根，求此三角形的周长
