1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（六）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则的子集共有（）0,1,2,3,1,2,4,ABCAB
2、CA6 个B4 个C3 个D2 个【答案】B【解析】因为，共有两个元素，所以的子集共有个，故选 B 1,2CABC2242若，均为实数，且，则（）ab3i2i1iabab ABCD2233【答案】C【解析】因为，所以，因此，则.3221abiiii121 3abiiii 1,3ab 3ab 故选 C.公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞3已知，则（）20201loga 20201b12020c ABCDcabacbbacabc【答案】D【解析】，所以.202020201loglog10a 2020101b，120201c abc故选 D.4已知，则的值为（）tan30,2sin2cosA
3、BCD61010610105101051010【答案】B【解析】，得，tan30,2103 10cos,sin1010而.3 101010610sin2cos2sin coscos210101010故选 B.5如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（1）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A B C D23838244【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，原几何体表示左边一个底面边长为的等腰直角三角形，侧棱长为2的直三棱柱，右边是一个底面半径为，母线长为的半圆柱，所以该几何体的体积为212，故选 D2112 2 212422V 6一给定函
4、数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的()yf x1(0,1)a 1()nnaf a数列满足.则该函数的图象可能是()na1nnaaABCD【答案】A【解析】由题对于给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式 yf x10,1a 得到的数列满足则可得到，所以在上 1nnaf a na1nnaannf aa（）11f aa（）101a（，）都成立，即，所以函数图象都在的下方故选 A01xf xx （，），（）yx7设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意12(,0),(,0)FcF c2222:1(0,0)xyCababPC一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，
5、为坐标原点，则的长为（PQ12FPF1FPQQO|OQ）A定值B定值ab公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞C定值D不确定，随点位置变化而变化cP【答案】A【解析】依题意如图，延长 F1Q，交 PF2于点 T，是F1PF2的角分线TF1是的垂线，PQPQ是 TF1的中垂线，|PF1|PT|，P 为双曲线1 上一点，PQ2222xyab|PF1|PF2|2a，|TF2|2a，在三角形 F1F2T 中，QO 是中位线，|OQ|a故选 A8如图，在等腰直角中，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，ABCDEBCDBEAD垂足为，则（）FAF AB3155ABAC 2155ABAC CD4
6、81515ABAC 841515ABAC 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】D【解析】设，则，6BC 3 2,2ABACBDDEEC，222cos4ADAEBDBABD BA1010 1044cos2 105DAE所以，所以.因为，45AFAFADAE45AFAD 1133ADABBCABACAB 2133ABAC 所以.故选 D.421845331515AFABACABAC 9如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如 132），现从集合中任取 3 个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（1,2,3,4）ABC
7、D231316112【答案】B【解析】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，在，2，3，的 4 个整数中任取 3 个不同的数14组成三位数，有种取法，在，2，3，的 4 个整数中任取 3 个不同的数，将最大的放在十334324CA14位上，剩余的 2 个数字，分别放在百、个位上，有种情况，则这个三位数是“凸数”的概率是3428C.故选 B8124310将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得2 n 2)3(sif xx图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为12()g x()g x（）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：
8、卷洞洞ABCD24x 4x524x12x【答案】A【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，223f xsinx纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即243ysinx12 g x，由，得 224241233g xsinxsinx24,32xkkZ，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选 A.1,424xkkZ0k 24x 11已知过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,交圆于,两点,其2:4C yxCPQ2220 xyxMN中,位于第一象限,则的值不可能为（）PM14|PMQNA3B4C5D6【答案】A【解析】作图如下：可以作出下图，公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞
9、公众号：卷洞洞由图可得，可设，则，PFmQFn1PMm1QNn，根据抛物线的常用结论，有，24yx2p1121mnp，则，1mnmnmnmn14|PMQN1411mn4545()1mnmnmnmn又，11(4)1(4)()mnmnmn 441mnnm452m nnm得，则的值不可能为 3，答案选 A.49mn454mn14|PMQN12已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，32,12ln,11xxxf xaexxxx yf x,P QOPOQ且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（）PQyaABCD0,10,e1,e,e【答案】C【解析】假设曲线上存在两点满足题意，则点只能在轴两侧，yf x,P
10、 Q,P Qy是以为直角顶点的直角三角形，不妨设，POQO0OP OQ ,0P t f tt 斜边的中点在轴上，且，POQy32,Qt tt1t 0OP OQ ，2320tf ttt曲线上始终存在两点使得,等价于方程有解,yf x,P QOPOQ公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞(1)当，即两点都在上,，01t,P Q32yxx 32f ttt 代入方程，得，232320ttttt 4210tt 而此方程无实数解,不符合题意,（2）当时，在上，在上，1t P2ln1aexxyxQ32yxx，代入得，因为为正数可化为 2ln1aettf tt2322ln01aetttttta，设，12l
11、netta 2lng xexx 22lnln1exegxxxxx ，递减，220 xegxx gx 0ge 时，递减，时，递增，xe 0gx g x1xe 0gx g x，即结合为正数，可得，的范围是，故选 C.maxg xg ee1,eaa1aea1,e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设，若是的充分不必要条件，则的值可以是0m:0pxm:01xqxpqm_（只需填写一个满足条件的即可）m【答案】（的任意数均可）12(0,1)【解析】由得 0 x1,所以 q：0 x1，又，若是的充分不必要条件，01xxm0p:0 xmpq则，所以 0m1,满足题意的 m=（的任意
12、数均可）.故答案为：（的任pqq，p120,1120,1公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞意数均可）14_2222(sin34)xxxdx【答案】162【解析】.222322sin3coscos28cos(2)816xx dxxx 表示圆的上半部分，则.24yx224xy22222422x dx所以,故答案为：.2222(sin34)xxxdx16216215已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的xy2211xyxyxy 2zxay(3,4)a取值范围是_【答案】(,2)【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，若，则目标函数，即为此时函数在时取得最大值，不满足条
13、件，0a 2zx(3,4)A 当，由，得，若，目标函数斜率，此时平移0a 2zxay2zyxaa 0a 20a，得在点 处的截距最大，此时取得最大值，不满足条件，若，2zyxaa 2zyxaa(3,4)Az0a 目标函数斜率，要使得目标函数仅在点处取得最小值，则，即20a2zxay(3,4)A21ABka，2a 所以实数的取值范围是.a(,2)公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞16如图，直角梯形，是边中点，沿ABCD90ABC2CD 1ABBCECDADE翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为_AEDABCECABD【答案】22【解析】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是
14、 1 的正方形，侧面DABCEABCE中，且D EAD EAE1D EAE，平面作于，作于，,AED E AECE D ECEEAED CED MCEMMNABN连，则由平面，可得，平面D NAED CED MAED MABCE又平面，平面ABABCED MABMNABD MMNMAB D MN公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞在中，作于，则平面D MNMHD NHMH ABD又由题意可得平面，即为点到平面的距离CEABDMHCABD在中，设，则，Rt D MN,1D MMN MND Mx01xD E 由可得，21D NxD M MND N MH21xxMH，当时等号成立，此时平面，2
15、2122111xMHxx1x D EABCE综上可得点到平面距离的最大值为故答案为CABD2222三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知数列的前项和为，且（），.数列为等比 nannS12nnaa*Nn3412aa nb数列，且.1223,ba bS（1）求和的通项公式；na nb（2）设，求数列的前项和.(1)nnnncab ncnnT【解析】（1）由已知得：，数列是以 2 为公差的等差数列.12nnaa na，.3412aa121012a11a21nan设等比数列的公比为，nbq12233,babS2339bqS3q.3nnb（
16、2）由题意，得，1121 3213nnnnnnncabnn 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，23133353213nnTn .23131333233213nnnTnn 上述两式相减，得 231432333213nnnTn ,211231332131 3nnn 1341322nn.1341388nnnT 18（12 分）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，ABCDMNABCD/ABCD2 2AB，四边形为矩形.BCDC2BCDCAMDMBDMN（1）求证：平面平面；ADM ABCD（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加MNHHADM4H以证明.【解析】（
17、1）证明：由平面几何的知识，易得，2BD 2AD 又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且.2 2AB ABD222ADBDABABDBDAD因为四边形为矩形，所以.BDMNBDDM由，可得.BDADBDDMDMADDBDADM 平面公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞又，所以平面 平面.BDABD 平面ADM ABCD（2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.HHADMHAB事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标DDAxDByDABCDz系，Dxyz则,，设,由，0,0,0,2,0,0,0,2,0DAB1,0,1M,H x y zMHMNDB 即，得
18、.设平面的一个法向量为，则1,10,2,0 xy z1,2,1HADH1111,nx y z，即，1100DA nDH n 不妨设，取.平面的一个法向量为.二面角为大11y 10,1,2nADM20,1,0n HADM小为,于是.解得 或（舍去）.所以当点为线段的中点时，二面角为大小为.HMNHADM19（12 分）已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染，需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种DNA化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将 6 只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不DN
19、A含病毒，则在另外一组中逐个进行化验.DNA公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率.（2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次化验费都是 6 元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？【解析】（1）方案乙所需化验恰好为 2 次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,DNA再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种,先化验一组，结果含病353163116CCC毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为.DNA253163116CCC所以依据方
20、案乙所需化验恰好为 2 次的概率为.111663（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则，11106PP511218656PP，54113246546PP5431143065436PP.5432153665433PP则其化验费用的分布列为所以（元）.11111771018243036666633E所以甲方案平均需要化验费元.773公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞20（12 分）椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率2222:10 xyCabab228:5O xyC为.32（1）求椭圆的方程；C（2）若直线 与椭圆交于不同的两点，且的中点
21、为，线段的垂直平分线为，lC,M NMN01,4P xMNl直线与轴交于点，求的取值范围.lx,0Q mm【解析】（1）不妨取第一象限的交点为.由椭圆将圆的圆周分为四等份，知.ACO45xOA所以.因为点在椭圆上，所以.因为，所以.2 5 2 5,55AAC2244155ab32e 224ab联立，解得，.所以椭圆的方程为.24a 21b C2214xy（2）设，则两式相减，得.11,M x y22,N xy2211222244,44.xyxy1212121214yyxxxxyy 又因的中点为，所以，.MN01,4P x1202xxx1212yy所以直线 的斜率.l12120121214lyy
22、xxkxxxyy 当时，直线 的方程，直线即轴，此时.00 x l14y ly0m 当时，直线的斜率.所以直线的方程为，即.00 x l01lkxl00114yxxx0134yxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞令，则.因为点在椭圆内部，所以.0y 034xx01,4P x2201144x所以，所以.01515,00,22x 033 153 15,00,488x 综上所述，的取值范围为.m3 15 3 15,8821（12 分）已知函数，.()xf xeax()lng xxaxaR（1）当时，讨论函数的零点个数ae()xf xeax（2）的最小值为，求的最小值()()()F xf x
23、g xm()lnxmG xeex【解析】（1）的定义域为，.f x,xfxea当时，单调递增，又，0a e0 xfxa f x 01f1110afea 所以函数有唯一零点；f x当时，恒成立，所以函数无零点；0a 0 xf xe f x当时，令，得.0ea 0 xfxealnxa当时，单调递减；当时，单调递增.lnxa 0fx f xlnxa 0fx f x所以.当时，所以函数无零点.lnminlnln1 lnafxfaea aaa0ealn0fa f x综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.f x0a f x（2）由题意得，则，令，则，lnxF xex x1F xex 1xh xex
24、 210 xh xex公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以在上为增函数，即在上为增函数.h x0,Fx0,又，所以在上存在唯一零点，110Fe1202Fe Fx0,0 x且，即.01,12x 00010 xFxex001exx当时，在上为减函数，当时，00,xx 0Fx F x00,x0,xx 0Fx在上为增函数，的最小值.F x0,x F x 000lnxmF xex因为，所以，所以.001xex=00lnxx 0012mxx由得，易知在上为增函数.lnxmG xeex mxeGxex Gx0,因为，所以，所以在2m 1e0mGe 110mmmeG meemm Gx上存在唯一零点，
25、且，当时，0,1x11,xm 111ee0mxGxx，在上为减函数，当时，在 0Gx G x10,x1,xx 0Gx G x上为增函数，所以的最小值为，G x 111ee lnxmG xx因为，所以，所以，11mxeex11lnxmx11lnmxx又，所以，000011elnlnxmxxx110011lnlnxxxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞又函数在上为增函数，所以，lnyxx0,101xx 000000111111ln100001111lnlnlnxxxxxxmG xeeeeeexxxx0011000000111lnlnxxexexxxxx因为，所以，即在上的最小值为 0.0
26、0ln0 xx 10G x G x0,(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，xOyCcos3sinsin3cos2xy轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.x（1）求曲线的极坐标方程;C（2）若直线、的极坐标方程分别为，设直线、与曲线的交点1l2l6R23R1l2lC分别为、（除极点外），求的面积.MNOMN【解析】（1）由参数方程，得，cos3sinsin3cos2xycos3sin2sin3cosxy，22222cos3sin
27、sin3cos4xy即，化为极坐标方程得，即.224xyy24 sin4sin（2）设点、的极坐标分别为、，则，MN1,622,314sin26OM公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，且，224sin2 33ON2MON所以，的面积为.OMN112 2 32 322OMNSOMON 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知，abcR，2221abc（1）求的取值范围；abc（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围2|1|1|()xxabcabc，x【解析】（1）由不等式得，2222222()(111)()3abcabc，的取值范围是33abcabc3,3（2）同理，若不等式对一2222222()1(1)1()3abcabc 2|1|1|()xxabc切实数恒成立，则，解集为abc，|1|1|3xx33(,)22 公众号：卷洞洞
