1、1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、填空题填空题（1）设()f x有一个原函数sin,xx则()2xfx dx=_.【答答】41【详解详解】由题设()f x有一个原函数sin,xx则()2sincossin,xxxxf xxx=从而()()()()2222xfx dxxdf xxf xf x dx=sinsin4 cos1.22xxxxx=（2）1112nin=_.【答答】4【详解详解】考虑幂级数()11,11,niS xnxx=因为()10011,1xxnniixS x dxnxdxx dxx=所以()()
2、21,11,11xS xxxx=故11114.22ninS=(3)设101020101=A，而2n 为整数,则12nn=AA .【答答】O【详解详解】因为 21011012020200200402.101101202 =iAA 故有 1222(2).nnnO=AAAAA（4）在天平上重复称量一重维a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，()20,0.2N，若以nX表示n称量结果的算术平均值，则为使0.10.95,nP Xan的最小值应不小于自然数=_.【答答】16【详解详解】由于2110.2,nniiXXN ann=于是 20.20,.0.2nXauNnn=又因为1.960.95,P
3、 u 故要求0.1210.95,0.222nnXannP XaPn=即0.975.2n 于是令1.96,2n解得16.n=（5）设随机变量(),1,2,;2ijXi jn n=?独立同分布，()2,ijE X=则行列式 111212122211nnnnnnXXXXXXYXXX=?的数学期望()E Y=_.【答答】0【详解详解】根据行列式的定义，有()()1 2121 2121,nnnr j jjjjnjj jjYXXX=?由于随机变量(),1,2,;2ijXi jn n=?独立同分布，因此有()()()()()()()()()()()()()()()()()()1 2121 21 2121 2
4、12121112121222121 1222222 0.222nnnnnnr j jjjjnjj jjr j jjjjnjj jjnnnnnnE YE XXXE XE XE XE XE XE XE XE XE XE XE XE X=?二、选择题二、选择题（1）设)(xf是连续奇函数,)(xF是)(xf的原函数,则(A)当)(xf是奇函数时，)(xF必为偶函数 (B)当)(xf是偶函数时，)(xF必为奇函数(C)当)(xf是周期函数时，)(xF必为周期函数 (D)当)(xf是单调增函数时，)(xF必为单调增函数【】【答答】应选(A)【详解详解】()f x的原函数()F x可以表示为0()(),x
5、F xf t dtC=+于是 00()()()().xxFxf t dtCutfu duC=+=+当()f x为奇函数,即()(),fuf u=从而有 00()()()().xxFxf t dtCf t dtCF x=+=+=即()F x为偶函数.故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下:2()f xx=是偶函数,但其原函数31()13F xx=+不是奇函数,可排除(B);2()cosf xx=是周期函数,但其原函数11()sin224F xxx=+不是周期函数,可排除(C);()f xx=在区间(,)+内是单调增函数,但其原函数21()2F xx=在区间(,)+内非单调
6、增加函数,可排除(D).（2）设),(yxf连续，且,),(),(+=Ddudvvufxyyxf 其中 D 是由1,02=xxyy所围区域，则),(yxf等于 (A)xy （B）xy2(C)81+xy (D)1+xy【】【答答】(C)【详解详解 1】令()(,)Df u v dudvA=则 (,)f x yxyA=+,将(,)f x yxyA=+代入(*)式得 DuvA dudvA+=即 DxyA dxdyA+=2112000 xdxxydyAx dxA+=11,123AA+=解得18A=故 1(,)8f x yxy=+【详解详解 2】等式(,)(,)Df x yxyf u v dudv=+两
7、边取在区域D上的二重积分得:(,)(,)DDDDf x y dxdyxydxdyxydxdyf u v dudvA=+i 2112000(,)(,)xDDf x y dxdydxxydxdyx dxf x y dxdy=+i 11(,)(,)123DDf x y dxdyf x y dxdy=+由上式解得 1(,)8Df x y dxdy=则 1(,)8f x yxy=+（3）设向量 可由向量组12,m?线形表示，但不能有向量组()121,m?线性表示，记向量组（）：121,m?，则：(A)m 不能由()线性表示，也不能由（）线性表示（B）m 不能由()线性表示，但可由（）线性表示(C)m 可
8、由()线性表示，也可由（）线性表示(D)m 可由()线性表示，但不能由（）线性表示 【】【答答】(B)【详解详解】由题设,存在12,mk kk?使得 1122,mmkkk=+?且 0mk.否则与 不能由向量组121,m?线性表示矛盾,从而有 11111,mmmmmmkkkkk=+?即 m 可由向量组121,m?线性表示.又根据 不能由向量组121,m?线性表示知,m 一定不能由12,m?线性表示,否则将m 用121,m?线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾.因此正确选项为(B)（4）设,A B为n阶矩阵，且与AB相似，E为n阶单位矩阵，则()()AB=与 有相同的特征值和特征向量EAEB.AB
9、.()C与AB都相似于一个对角矩阵 ()D对于任意常数,t t与EAEB相似【】【答答】(D)【详解详解】()A首先贝排除，因它意味着A=B;与AB相似，与AB有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故()B 不成立；与AB不一定可以对角化，更谈不上都相似于一个对角矩阵，排除（C）剩下（D）为正确答案.因为与AB相似，所以存在n阶可逆矩阵,P使得1=P APB,进而有()1tt=PEA PEB可见t与EAEB相似.（5）设随机变量()1011,2,111424iXi=且满足1201,P X X=，则12P XX=等于()()()()110.1.42ABCD【】【答答】(A)【详解详解】首先，
10、列出二维随机变量()12,XX的联合分布律及其边缘分布中的部分数值.1X 2X 1 0 1 p i 1 a b c 14 0 d h f 12 1 g e k 14 p j 14 12 14 1 由于1201,P X X=故1200.P X X=因此0.acgk=根据边缘分布的性质()11111,0.44442bhdfebh=+=可见有 121212121,10,01,10.P XXP XXP XXP XX=+=+=因此正确选项为（A）。三三、（本题满分 6 分）曲线xy1=的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化
11、趋势如何？【详解详解】由1,yx=得321,2yx=则切点1(,)P aa处的切线方程为 311().2yxaaa=切线与x轴和y轴的交点分别为(3,0)A a和3(0,).2Ba 于是,三角形AOB的面积为 1393242Saaa=ii.当切点沿x轴方向趋于无穷远时,有lim.aS+=+当切点沿y轴方向趋于无穷远时,有0lim0.aS+=四四、（本题满分 7 分）计算二重积分,Dydxdy其中 D 是由2,0,2=yyx以及曲线22yyx=所围成的平面区域.【详解详解 1】如图所示,2(,)|02,22,Dx yyxyy=则 222222020022y yDydxdyydydxydyyyy
12、dy=22041(1)yydy=令1sin,yt=则 2222021(1)(1 sin)cosyydyttdt=+222222coscossin.2tdtttdt=+=于是 4.2Dydxdy=【详解详解 2】区域D和1D如图所示,有 11,DD DDydxdyydxdyydxdy+=易知 102204.D Dydxdydxydy+=而在极坐标系下,有1(,)|,02sin,2Drr=于是 12sin40228sinsin3Dydxdydrrdrd=i 22281 cos.322d=故 4.2Dydxdy=【详解详解 3】由心形公式 DDydxdyyS=知,DDydxdyy S=i其中y为D的
13、心形y坐标,由D的图形不难看出1y=,DS为积分域D的面积,该面积应为正方形减去半圆,42DS=则 4.2Dydxdy=五五、（本题满分 6 分）设生产某种产品必须投入两种元素，1x和2x分别为两元素要投入量，Q为产出量；若生产函数为212xxQ=，其中为正常数，且1=+。假设两种元素的价格分别为1p和2p，试问：当产量为 12 时，两元素各投入多少可以使得投入总费用最小.【详解详解】根据题设,在产出量满足12122x x=的条件下,求总费用1 122Cp xp x=+的最小值,为此构造拉格朗日函数 121 12212(,)(122).F x xp xp xx x=+令 11121121221
14、220,(1)2,(2)1220,(3)FpxxxFpx xxFx x=由第 1,2 个方程,得 21212121,pxpxxpxp=将1x代入第 3 个方程,得 1221216,6.ppxxpp=因驻点唯一,且实际问题存在最小值,故当1221216,6.ppxxpp=时,投入费用最小.六六、（本题满分 6 分）设有微分方程()2,yyx=其中()2,1,0,1.xxx 试求出(),+内的连续函数()yy x=，使之在(),1和()1,+内都满足所给方程，且满足条件()00.y=【详解详解】当1x，22,yy=其通解为 22222111221,dxdxxxxyeedxCeedxCC e=+=+
15、=由()00.y=得11,C=所以()211.xyex=时，20,yy=其通解为 2222,dxxyC eC e=由 ()222211limlim11,xxxxC eee+=得 2221C ee=，即221,Ce=所以()()221,1.xyeex=于是若补充定义()211,ye=则得在(),+内的连续函数()()2221,1,1,1.xxexy xeex=满足题中要求的全部条件.七七、（本题满分 6 分）设函数()f x连续，且()2012arctan.2xtfxt dtx=已知()11,f=求()21f x dx的值【详解详解】作变量代换2,uxt=则2,txu dtdu=于是()()()
16、()()2202222,xxxxxxxtfxt dtxu f u duxf u duuf u du=因此原函数变换为()()22212arctan,2xxxxxf u duuf u dux=上式两边对x求导，得()()()()()24222222221,xxf u duxfxf xxfxxf xx+=+即()()242.1xxxf u duxf xx=+令1x=得()211321,22f u du=+=于是()213.4f x dx=八八、（本题满分 7 分）设函数()f x在区间0,1上连续，在()0,1内可导，且()()1010,1.2fff=试证：（1）存在1,12，使();f=（2）对
17、于任意实数，必存在()0,，使得()()1.ff=【详解详解】（1）令()(),xf xx=则()x在闭区间1,12上连续，且 110,22=()110,=时，矩阵B为正定矩阵.【详解详解】因为()TTTT=B=E+A AE+A A=B,可见B为n阶实对称矩阵.又对于任意的实n维向量x，有()()()TTTTTTT+=+x Bx=E+A A x=x xx A Axx xAxAx,当0,x有()()0,0.TTx xAxAx 因此，当0时，对任意的0,x有()()0TTT+x Bx=x xAxAx 即B维正定矩阵.十一十一、（本题满分 9 分）假设二维随机变量(),X Y在矩形(),|02,01
18、Gx yxy=上服从均匀分布.记0,0,2,1,1,2,XYXYUVXYXY=（1）求 U 和 V 的联合分布;（2）求 U 和 V 的的相关系数 r.【详解详解】如图所示，因(),X Y在矩形区域 G 上服从均匀分布，所以 11,2,42P XYP XY=124P YXY=11,0,22;4P UVP XY XYP YXY=1111,11.442P UV=+=（3）由以上可见，UV和U、V的分布为 010101;.111311224422UVUV 于是()()()()()33111,;,.416242E UD UE VD VE UV=故有()()()()1,.8Cov U VE UVE UE
19、 V=因此()()(),13.Cov U VrD UD V=十二十二、（本题满分 7 分）设129,XXX?是来自正态总体X的简单随机样本，()1161,6YXX=+?()27891,3YXXX=+()()921222721,2iiYYSXYZS=,证明统计量Z服从自由度为2 的 t 分布.【详解详解】设()2,XN 则有()()()()221212,.63E YE YD YD Y=由于1Y和2Y相互独立，因此有()()22212120,632E YYD YY=+=所以2120,2YYN 从而()120,1,2YYUN=又由正态总体样本的方差的性质，知()22222.SV=又因为12YY与2S独立，因此()()1222.2YYUZtSV=
