1、第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划A级基础过关|固根基|1.已知实数x，y满足不等式组若直线yk(x1)把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k()A. B.C. D.解析：选B不等式组对应的平面区域是以A(1，0)，B(1，1)，C(0，2)为顶点的三角形(如图)，因为yk(x1)过定点A(1，0)，由题意知，直线yk(x1)过BC的中点，所以斜率k，故选B.2在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示的图形的面积等于()A1 B2C3 D4解析：选B不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长|AD|，则正方形的面积S2.故选B
2、.3设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足则p是q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A画出可行域，易知命题q中不等式组表示的平面区域在命题p中不等式表示的圆面内，故是必要不充分条件故选A.4(2023年届长沙模拟)若实数x，y满足不等式组且目标函数zax2y的最大值为1，则实数a的值是()A.1 B1C.1 D3解析：选B作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)所示，其中A(0，1)，B(a，1a)，C(a，1a)由图知a0，对zax2y变形，得yx，当直线yx经过点B时，z取得最大值，a22(1a)1，解
3、得a3(舍去)或a1，故选B.5某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元解析：选C设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin36 800 元故选C.6(一题多解)(2023年届陕西省质量检测一)若变量x，y满足约束条件则
4、zx2y的最大值为_解析：解法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y1，xy0，xy20，则边界的交点分别为(1，1)，(3，1)，(1，1)，分别代入zx2y，得对应的z分别为3，1，3，可得z的最大值为3.解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包含边界)所示，作出直线x2y0并平移，由图可知，当直线过点(1，1)时，z取得最大值，即zmax12(1)3.答案：37(2023年届广东茂名模拟)已知点A(1，2)，点P(x，y)满足O为坐标原点，则z的最大值为_解析：由题意知zx2y，作出可行域如图阴影部分(包含边界)，作直线l0：yx，当l0移到过A(1，2)的l的位置时，z
5、取得最大值，即zmax1225.答案：58(2023年届石家庄市质量检测二)设变量x，y满足约束条件则z的最大值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，而表示区域内的动点(x，y)与定点(0，1)连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点C(1，2)时，斜率最大，为3.答案：39.已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3，2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)
6、在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14，a的取值范围是(18，14)10已知变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y26x4y13，求z的最大值解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分(包含边界)所示由解得A；由解得C(1，1)；由解得B(5，2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zminkOB.(2)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域内的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点B(5，2)到(3，2)的距离的平方
7、最大，即d 64，故z的最大值为64.B级素养提升|练能力|11.已知变量x，y满足约束条件若的最大值为2，则实数m的值为()A4 B5C8 D9解析：选B不等式组对应的可行域如图所示：由得B(1，m1)表示可行域内的点(x，y)和点D(1，0)连线的斜率，可行域中点B和点D连线的斜率最大，2，m5.故选B.12(2023年届重庆六校联考)已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1解析：选D画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示令z0，画出直线yax，a0显然不满足题意当a0时，要使zyax取得最大值的最优
8、解不唯一，则需使直线yax与2xy20平行，此时a2.综上，a1或2.13某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，求该企业每月利润的最大值解：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z2xy，表示的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，作出直线2xy0，平移该直线，当直线z2xy经过直线2x3y480与直线6xy960的交点(150，60)(满足xN，yN)时，z取得最大值，为215060360.该企业每月利润的最大值为360千元- 7 -
